人工智能相关数学 - 导数

导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线$y=f(x)$，我们想要求出这个曲线在某个点M的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，∠NMT在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为$\tan\phi$，其中$\tan\phi=\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$.

当N逼近于M时：

$\tan\phi=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

我们令$\Delta x=x-x_0$，所以：

$\tan\phi=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

此时$\tan\phi$的结果就是函数在$x_0$0处导数的值。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数$y = f(x)$在点$x_0$处的邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$($x_0 + \Delta x$仍然在$x_0$的邻域内)，相应的函数取得增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。如果$\frac{\Delta y}{\Delta x}$在$\Delta x \to 0$时的极限存在，称为函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导。它的导数写成$f'(x_0)$

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

$f'(x_0)$也可以记成$\frac{dy}{dx}$，或者$\frac{df(x)}{dx}$。

如果函数$y = f(x)$在开区间$I$内可导，说明对于任意$x \in I$，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数$f(x)$的导函数，记作$y = f'(x)$。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果$\lim_{ x\to x_0}{f(x)} = a$。那么，对于某个正数$\in$，对于任何正数$\delta$，都有$0 < |x - x_0| < \delta$时，$|f(x) - a| \geq \in$。那么就称为$x \to x_0$时，$f(x)$的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当$x \to x_0$时:

$\lim_{\Delta x\to0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0+\Delta x)=a$

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近$x_0$还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数$f(x)$在$x_0$点可导的充分必要条件就是，函数在$x_0$处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是$\frac{dy}{dx}$在$\Delta x \to 0$时存在。即：

$\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$

我们把极限符号去掉：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+a$

这里的a是Δ→0时的无穷小，我们队上式两边同时乘上Δx，可以得到：

$\Delta y=f'(x)\Delta x+a\Delta x$

由于和$a$和Δx都是无穷小，并且$f'(x)$存在，所以Δy也是无穷小。而连续的定义就是当Δx→0时，Δy也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

$f(x) = |x|$

它的函数图像长这样：

我们试着来证明：$f(x)$在x=0处不可导。

$\begin{aligned} &f_{\underline{\prime}}(0) =\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \\ &f_{+}^{\prime}\left(0\right) =\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned}$

由于f(x)在x=0处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以f(x)在x=0处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

当然我们实际运用当中遇到的当然不只是简单的函数，很多函数往往非常复杂。

导数基本运算法则

由于我们处理非线性问题时，函数不可能只包括一个基础函数。对于这样包含两个以上基础函数的，依然可导。假设存在这样的两个基础函数 $f(x)$、$g(x)$ ，导数运算法则如下：

复杂函数就先求外层，内部当作未知量，一层一层求解。还利用这样的两个基础函数 、f(x)、g(x) ，导数运算法则如下：

$F(x) = f(g(x))$ 导数函数：$F'(x)=f'[g(x)]\cdot g'(x)$

计算：$f(x)=x^4+\sin(x^2)-\ln(x)e^x+7$的导数：

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)& =4x^{(4-1)}+\frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos(x^2)-\frac{d\left(\ln x\right)}{dx}e^x-\ln(x)\frac{d\left(e^x\right)}{dx}+0 \\ &=4x^3+2x\cos(x^2)-\frac1xe^x-\ln(x)e^x \end{aligned}$