最长上升子序列问题

题目： 

 

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输入

n=5

a={4,2，3，1,5}

输出

3 (a, a, a,构成的子序列2, 3，5最长)

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分析：

这个问题是被称作最长上升子序列( LIS, Longest Increasing Subsequence)的著名问题。这一问

题通过使用DP也能很有效率地求解。我们首先来建立一下递推关系。

定义dp[i]:=以ai为末尾的最长上升子序列的长度

以a结尾的上升子序列是

只包含ai的子序列

在满足j<i并且aj<ai的以aj为结尾的上升子列末尾，追加上ai,后得到的子序列

这二者之一。这样就能得到如下的递推关系:

dp[i]=max {1,dp[j]+1 I j<i且aj<ai}

使用这一递推公式可以在O(n^2 )时间内解决这个问题。

代码如solve1

此外还可以定义其他的递推关系。前面我们利用DP求取针对最末位的元素的最长的子序列。如果子序列的长度相同，那么最末位的元素较小的在之后会更加有优势，所以我们再反过来用DP针对相同长度情况下最小的末尾元素进行求解。

dp[i]:=长度为i+1 的上升子序列中末尾元素的最小值(不存在的话就是INF )

我们来看看如何用DP来更新这个数组。

最开始全部dp[i]的值都初始化为INF。然后由前到后逐个考虑数列的元素，对于每个aj，如果i=0或者dp[i- 1]<aj 的话，就用dp[i]=min(dp[i], aj )进行更新。最终找出使得dp[i]<INF的最大的i+1就是结果了。这个DP直接实现的话，能够与前面的方法一样在O(n^2 )的时间内给出结果，但这一算法还可以进一步优化。 首先dp数列中除INF之外是单调递增的，所以可以知道对于每个am 最多只需要1次更新。对于这次更新究竟应该在什么位置，不必逐个遍历，可以利用二分搜索，这样就可以在O(nlogn)时间内求出结果。

代码如solve2

代码实现：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
const int INF=1e9;
vector<int>a(1002);
vector<int>dp1(1002,1);
vector<int>dp2(1003,INF);
void solve1() {//O(n^2) 
	int ans=0;
	for(int i=0; i<n; ++i) {
		for(int j=0; j<i; ++j)
			if(a[j]<a[i])
				dp1[i]=max(dp1[i],dp1[j]+1);
		ans=max(dp1[i],ans);
	}
	cout<<ans<<endl;
}
void solve2() {//O(nlogn) 
	for(int i=0; i<n; ++i)
		*lower_bound(dp2.begin(),dp2.end(),a[i])=a[i];
	//因为我需要求的是最长子序列长度，而不是哪些元素组成最长子序列；
	//所以上边的更新只影响了最长子序列的构成元素，并没有影响其最长长度 
	cout<<lower_bound(dp2.begin(),dp2.end(),INF)-dp2.begin()<<endl;
}
int main() {
	cin>>n;
	for(int i=0; i<n; ++i)
		cin>>a[i];
	solve1();
	solve2();
	return 0;
}