向量的范数
任意x∈Cn,设x=(ξ1,ξ12,...,ξn)T,常用的范数有
1. 2-范数
∥x∥2=(∑i=1n|ξi|2)12
2. 1-范数
∥x∥1=∑i=1n|ξi|
3.
∞-范数
∥x∥∞=max1⩽i⩽n|ξi|
以上三种范数都是以下
p-范数的特例:
∥x∥p=(∑i=1n|ξi|p)1p,1⩽p⩽+∞
1-范数和2-范数显然是
p-范数在p=1和
p=2的特殊情形.
矩阵的范数
与向量x∈Cn的几种范数相对应,矩阵A=[aij]∈Cm×n有范数
∥A∥1=∑i=1m∑j=1n|aij|,
∥A∥2=∥A∥F=(∑i=1m∑j=1n|aij|2)12=tr(AHA)−−−−−−−√,
∥A∥∞=maxi,j|aij|
∥A∥p=(∑i=1m∑j=1n|aij|p)1p,1⩽q⩽+∞
2-范数也叫Frobenius范数。