向量的范数

任意x∈Cn,设x=(ξ1,ξ12,...,ξn)T,常用的范数有
1. 2-范数

∥x∥2=(∑i=1n|ξi|2)12


2. 1-范数


∥x∥1=∑i=1n|ξi|


3.

∞-范数

∥x∥∞=max1⩽i⩽n|ξi|


以上三种范数都是以下

p-范数的特例:

∥x∥p=(∑i=1n|ξi|p)1p,1⩽p⩽+∞


1-范数和2-范数显然是

p-范数在p=1和 p=2的特殊情形.

矩阵的范数

与向量x∈Cn的几种范数相对应,矩阵A=[aij]∈Cm×n有范数

∥A∥1=∑i=1m∑j=1n|aij|,


∥A∥2=∥A∥F=(∑i=1m∑j=1n|aij|2)12=tr(AHA)−−−−−−−√,


∥A∥∞=maxi,j|aij|


∥A∥p=(∑i=1m∑j=1n|aij|p)1p,1⩽q⩽+∞


2-范数也叫Frobenius范数。