[NOIP2002 普及组] 过河卒

历尽千辛万苦，我终于$AC$啦！

[NOIP2002 普及组] 过河卒

题目描述

棋盘上 $A$ 点有一个过河卒，需要走到目标 $B$ 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 $C$
点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，$A$ 点 $(0, 0)$、$B$ 点 $(n, m)$，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 $A$ 点能够到达 $B$ 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 $B$ 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

样例 #1

样例输入 #1

​​6 6 3 3 ​​

样例输出 #1

​​6 ​​

提示

对于 $100 \%$ 的数据，$1 \le n, m \le 20$，$0 \le$ 马的坐标 $\le 20$。

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第四题

我们一起来看下这道题，是NOIP的最后一题（对于我这种蒟蒻，难度已经很大了），洛谷官方给的算法标签是动态规划！

我们来想想看啊，能简化就简化。

在此之前，我们先来想一个事儿，比如说这个格子，我们从$S$走到$E$，有多少种不同的走法？

很简单，小学数学填数法。

同样的，我们想一下，模拟下它们的位置，找出递推关系式：

显而易见，$a(i,j)=a(i-1,j)+a(i,j-1)$是这个题的关系式，同样也是这道大题的关系式。

现在，让我们一起来思考一下这道题。
同样的，我们可以确定，把马可以移动的的坐标表示出来，然后标上0。
（注意这个题要开$long\ long$哈，不然就超出范围了）

// 输入数据
  long long a[100][100]={};
  int n,m,x,y;
  cin>>n>>m>>x>>y;
  for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
      a[i][j]=1;
    }
  }
  // 表示马的坐标
  a[x][y]=0;
  if(x-2>=0&&y-1>=0) a[x-2][y-1]=0;
  if(x-2>=0&&y+1<=m) a[x-2][y+1]=0;
  if(x-1>=0&&y-2>=0) a[x-1][y-2]=0;
  if(x-1>=0&&y+2<=m) a[x-1][y+2]=0;
  if(x+1<=n&&y-2>=0) a[x+1][y-2]=0;
  if(x+2<=n&&y-1>=0) a[x+2][y-1]=0;
  if(x+2<=n&&y+1<=m) a[x+2][y+1]=0;
  if(x+1<=n&&y+2<=m) a[x+1][y+2]=0;

判断是否越界，如果越界了，就移动不了了呗。

核心的递推，在这儿：

$i=0$ 是第一行，除了控制点，只能从左侧来，$a(i,j)=$ 左侧的值
$j=0$ 是第一列，除了控制点，只能从上方来，$a(i,j)=$ 上方的值
其余点，除了控制点，按照以前的关系式求和 $a(i,j)=a(i-1,j)+a(i,j-1)$

for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
      if(i==0&&j==0) continue;
      if(a[i][j]==0) continue;
      if(i==0) a[i][j]=a[i][j-1];
      else if(j==0) a[i][j]=a[i-1][j];
      else a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
    }
  }

最后简简单单，输出就完了。

cout<<a[n][m];
  /*
  // 输出每一个位置的数
  for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
      cout<<a[i][j]<<" ";
    }
    cout<<endl;
  }
  */

完整的地图：

1 1 1 1 1 1 1
1 2 0 1 0 1 2
1 0 0 1 1 0 2
1 1 1 0 1 1 3
1 0 1 1 2 0 3
1 1 0 1 0 0 3
1 2 2 3 3 3 6

完整的代码如下：

// Author:PanDaoxi
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
  long long a[100][100]={};
  int n,m,x,y;
  cin>>n>>m>>x>>y;
  for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
      a[i][j]=1;
    }
  }
  a[x][y]=0;
  if(x-2>=0&&y-1>=0) a[x-2][y-1]=0;
  if(x-2>=0&&y+1<=m) a[x-2][y+1]=0;
  if(x-1>=0&&y-2>=0) a[x-1][y-2]=0;
  if(x-1>=0&&y+2<=m) a[x-1][y+2]=0;
  if(x+1<=n&&y-2>=0) a[x+1][y-2]=0;
  if(x+2<=n&&y-1>=0) a[x+2][y-1]=0;
  if(x+2<=n&&y+1<=m) a[x+2][y+1]=0;
  if(x+1<=n&&y+2<=m) a[x+1][y+2]=0;
  for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
      if(i==0&&j==0) continue;
      if(a[i][j]==0) continue;
      if(i==0) a[i][j]=a[i][j-1];
      else if(j==0) a[i][j]=a[i-1][j];
      else a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
    }
  }
  cout<<a[n][m];
  /*
  for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
      cout<<a[i][j]<<" ";
    }
    cout<<endl;
  }
  */
  return 0;
}

洛谷$AC$ 。