形如1/(1+x^4)这样的有理式分式的不定积分的总结

最近在总结回顾不定积分这一过程中遇到一些经典例题，特在此记录总结，形如$\frac{1}{1+x^4}$这样的有理式分式的不定积分，在处理的时候如果不注意技巧将会使得计算量变的庞大。

例1

$\int\frac{x^2-1}{x^4+1}$

$=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+x^2} d x$
$=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+x^2-2+2} d x$
$=\int \frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}$
今 $x+\frac{1}{x}=t$
则有原式
$=\int \frac{d t}{t^2-2}$
$=\int \frac{d t}{(t+\sqrt{2})(t-\sqrt{2})}$
$=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{1}{t-\sqrt{2}}-\frac{1}{t+\sqrt{2}} d t$
$=\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left|\ln \frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|+C$
$=\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left|\ln \frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}}{x+\frac{1}{x}+\sqrt{2}}\right|+C$

例2

$\int \frac{x^2+1}{x^4+1} d x$

$=\int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+x^2} d x$
$=\int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+x^2-2+2} d x$
$=\int \frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}$
今 $x-\frac{1}{x}=t$
则有原式
$=\int \frac{d t}{t^2+2}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{d \frac{\sqrt{2}}{2} t}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} t\right)^2+1}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{\sqrt{2}}{2} t+C$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)+C$

技巧：

1、两个常用导数：
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{\prime}=1-\frac{1}{x^2}$
$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{\prime}=1+\frac{1}{x^2}$
2、换元：
今 $x+\frac{1}{x}=t$
今 $x-\frac{1}{x}=t$

例3

有了前两个积分的基础，那么$\frac{1}{1+x^4}$就很显然了：
$\int \frac{1}{1+x^4} d x$
$=\frac{1}{2} \int \frac{\left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)}{1+x^4} d x$
$=\frac{1}{2} \int \frac{\left(x^2+1\right)}{1+x^4} d x-\frac{1}{2} \int \frac{\left(x^2-1\right)}{1+x^4} d x$
也就是变成例1和例2的形式了

技巧

将1巧妙的拆成$\frac{1}{2} [\left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)]$
$\frac{1}{1+x^4} =\frac{1}{2} \frac{\left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)}{1+x^4}$

例4

$\int \frac{x^2}{1+x^4} d x$
$=\frac{1}{2} \int \frac{\left(x^2+1\right)+\left(x^2-1\right)}{1+x^4} d x$
$=\frac{1}{2} \int \frac{\left(x^2+1\right)}{1+x^4} d x+\frac{1}{2} \int \frac{\left(x^2-1\right)}{1+x^4} d x$
也就是变成例1和例2的形式了

技巧

同理，巧妙的将$x^2$巧妙的拆成$\frac{1}{2} [\left(x^2+1\right)+\left(x^2-1\right)]$的积分相当于例3中的 - 变成了 +

例5

$\int \frac{x^4}{x^2-1} d x$
$=\int \frac{x^4-1+1}{x^2-1} d x$
$=\int\left(x^2+1\right)+\frac{1}{x^2-1} d x$
$=\int\left(x^2+1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right) d x$
$=\frac{1}{3} x^3+x+\frac{1}{2}\left|\ln \frac{x-1}{x+1}\right|+C$

例6

$\int \frac{x^4}{x^2+1} d x$
$=\int \frac{x^4-1+1}{x^2+1} d x$
$=\int\left(x^2-1\right)+\frac{1}{x^2+1} d x$
$=\frac{1}{3} x^3-x+\arctan x+C$

技巧

加1减1拆分式子

一般来说有理式分式的积分都是用因式分解、有理化、换元等方法来进一步计算积分的。

这里给出一个因式分解待定系数的经典题

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{1+x^3} d x \\ &=\int \frac{d x}{(1+x)\left(x^2-x+1\right)} \end{aligned}$
用待定系数法设
$\frac{a}{1+x}+\frac{b x+c}{x^2-x+1}=\frac{1}{(1+x)\left(x^2-x+1\right)} 1$
解得
$\begin{aligned} &\mathrm{a}=\frac{1}{3}, b=-\frac{1}{3}, c=\frac{2}{3} \\ &\text { 原式 }=\int \frac{1}{3(1+x)}+\frac{-\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1} d x \\ &=\int \frac{1}{3(1+x)}+\frac{-\frac{1}{3}(x-1)+1}{x^2-x+1} d x \\ &=\int \frac{1}{3(1+x)} d x+\int \frac{-\frac{1}{3} d\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1} d x+\int \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} d x \\ &=\frac{1}{3} \ln |x+1|-\frac{1}{6}\left|x^2-x+1\right|+\frac{1}{3} \arctan \left(\frac{2 x-1}{\sqrt{3}}\right)+C \end{aligned}$

技巧

所谓的待定系数就是在因式分解凑分子的过程中结构较复杂，可以使用待定系数法，而分子所设置$x$的次数则需要低于分母一次，这样才可以保证可以配出系数。

在不定积分的求解中由于解题的方法不唯一所得到的原函数的形式可能不唯一，因此做完不定积分一定要通过对答案求导来进行验算，保证正确性。