【离散数学】第三章 谓词逻辑

3.1 谓词的概念与表示

基本概念

命题逻辑把简单命题作为最基本的单元，不再往下分析。比如说命题 P “π是无理数”和命题 Q “无理数是实数”这两个命题，在命题逻辑的范畴内是找不到什么联系的。

谓词逻辑继续拆分命题，把命题拆为“π”、“...是无理数”、“...是实数”这些结构，可以得出命题 R “π是实数”这种命题。其中“...是无理数”、“...是实数”称为谓词。

在进入谓词逻辑之前，我们先明确谓词逻辑和命题逻辑的联系:谓词逻辑是对命题逻辑的补充和完善。所以，一方面来讲，谓词逻辑有很多知识点是和命题逻辑是相通的，比如谓词逻辑有谓词公式这一说，这和命题逻辑是类似的。另一方面来讲，谓词逻辑肯定会对命题逻辑进行补充，比如引进了量词等等。

因为命题逻辑是一种粗粒度的逻辑，命题之间是没有关联的，这种逻辑在某些情况下是不适用的；而谓词逻辑的引入就可以解决这个问题，简单来说，它是一种更加细粒度的逻辑，是对命题逻辑的补充和完善。

谓词逻辑主要涉及到两个概念：谓词，个体。

个体（有的地方称作客体）

• 个体：在原子命题中，所描述的对象，可以是独立存在的事物。它可以是抽象的概念，也可以是一个具体的实体。
• 个体域：个体变化的范围。个体域可以是有限的，也可以是无限的。所有个体域的总和叫作全总个体域。
• 个体常元：表示特定的个体，以 $a,b,c,…$ 或带下标的 $a_i,b_i,c_i,…$ 表示。
• 个体变元：以某个个体域为变化范围的变元。以 $x,y,z,…$或者 $x_i,y_i,z_i,…$表示。

谓词

• 谓词（一元谓词）：用以描述个体的性质或个体间关系的部分。当与一个个体相联系时，刻画了个体的性质；当与两个或多个个体相联系时，刻画了个体之间的关系。通常都用大写英文字母，如$P,Q,R,…$来表示。
• n 元谓词：用 $P(x_1,x_2,…,x_n)$ 来表示，由于$x_1,x_2,…,x_n$ 是命题变元，此时不具有真值。

注:

(1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填上客体所得到的式子称之为谓词填式。

(2)在谓词填式中，若客体确定，则$A(a_1，a_2…a_n)$就变成了命题 。

(3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换位置。

命题的谓词形式

命题的谓词形式：用 $P(a_1,a_2,…,a_n)$ 来表示，为原子命题，由于 $a_1,a_2,…,a_n$ 是命题常元，此时具有真值。

命题的谓词形式中个体的出现顺序影响命题的真值，不能随意变动。

例1：小明是大学生。

其中，「…是大学生」是谓词，「小明」是个体。如用 $S(x)$ 表示「x是大学生」，a 表示小明，则上述命题可以表示成$S(a)$ 。

例2：武汉位于北京和广州之间。

其中「…位于…和…之间」是谓词，如果用 $L(x,y,z)$ 表示「x 位于 y 和 z之间」， a 表示武汉， b 表示北京， c表示广州，则上述命题可表示成$L(a,b,c)$ 。

3.2 量词与合式公式

量词

• 全称量词
  符号 ∀ ，用来表达「对所有的」、「任意的」、「每一个」等词语。
  $\forall x P(x)$ 表示命题：对于个体域中所有个体 $x$ ，谓词 $P(x)$均为 T 。
  谓词 $P(x)$ 称为全称量词 $\forall x$ 的辖域或作用范围。
• 存在量词
  符号 ∃ ，用来表达「存在一些」、「对于一些」、「至少有一个」等词语。
  $\exists {x Q(x)}$ 表示命题：在个体域中存在某些个体使谓词$Q(x)$ 为 T 。
  谓词 $Q(x)$称为存在量词 $\exists x$ 的辖域或存在范围。

例1 使用量词、谓词表示下列命题：

（1）每个自然数都是实数。

（2）一些大学生想继续攻读研究生。

（3）所有大学生都热爱祖国。

解：令$S(x)$:$x$是自然数，$R(x)$:$x$ 是实数， $G(x)$:$x$ 是大学生， $I(x)$:$x$想继续攻读研究生， $L(x)$:$x$热爱祖国。则各命题分别表示为：

（1）$\forall x (S(x) \rightarrow R(x))$

（2） $\exists x (G(x) \land I(x))$

（3）$\forall x (G(x) \rightarrow L(x))$

量词的特征

• 量词本身不是一个独立的逻辑概念，可以用 ∧,∨ 联结词代替。
• 设个体域：$S = {a_1,a_2,...,a_n}$，则
  $\forall x A(x) \Leftrightarrow A(a_1) \land A(a_2) \land ... \land A(a_n)$
  $\exists x A(x) \Leftrightarrow A(a_1) \lor A(a_2) \lor ... \lor A(a_n)$
• 由量词所确定的命题的真值与个体域有关。
• 一般来讲，量词的先后次序不可随意交换。x 和 y 的个体域都是所有鞋子的集合， $P(x,y)$ 表示一只鞋子 x 可与另一只鞋子 y 配对，则

• $\forall y \exists x P(x,y)$ ，对任何一只鞋 y ，总存在一些鞋 x 可与它配对，这是真命题。
• $\exists x \forall y P(x,y)$ ，存在一只鞋 x ，它可以与任何一只鞋 y 配对，是个假命题。

示例1：

示例2：

在以上的示例中我们可以看到，一个变量可以即时约束出现又是自由出现；为了避免混淆，我们可以有2中方法实现对命题公式的改写：

1.约束变元改名

将量词的指导变元及其辖域内改变元的所有约束出现均改为公式中未出现过的个体变元。

2.自由变元带入

使用公式中没有出现过的符号代替所有自由变元。

3.3 谓词演算的等价式与蕴涵式

基本概念

有些命题可以使用不同的符号化表示；甚至可以使用不同的量词形式表示。

例如：$A(x)：x是人 ；B(x):x呼吸$ ；命题："人或者必须呼吸"。

可以表示为：

1. $\forall x (A(x) \rightarrow B(x))$
   对任意x，只要x是人，x就呼吸。
2. $\lnot \exists x (A(x) \land \lnot B(x))$
   不存在这样的x：x是人而且x不呼吸

量词的消去规则

对于论域是$\{a,b,c\}$，则：

$\forall x S(x) \Leftrightarrow S(a) \land S(b) \land S(c)$

$\exists x S(x) \Leftrightarrow S(a) \lor S(b) \lor S(c)$

等价式与蕴涵式

1. $\exists x (A(x) \lor B(x)) \Leftrightarrow \exists x A(x) \lor \exists x B(x)$# 存在x使得A或B成立，那么等价于存在x使得A成立或者存在x使得B成立
2. $1. \forall x (A(x) \land B(x)) \Leftrightarrow \forall x A(x) \land \forall x B(x)$ # 任意的x使得A且B成立，那么等价于任意的x使得A成立且任意的x使得B也成立
3. $\lnot \exists x A(x) \Leftrightarrow \forall x \lnot A(x)$ # 不存在x使得A成立，那么等价于任意的x都是的A不成立
4. $\lnot \forall x A(x) \Leftrightarrow \exists x \lnot A(x)$ # 不是所有的x都使得A成立，那么等价于存在x使得A不成立
5. $\forall x (A \lor B(x)) \Leftrightarrow A \lor \forall x B(x)$ # 析取非变元的项与谓词all无关
6. $\exists x (A \land B(x)) \Leftrightarrow A \land \exists x B(x)$ # 合取非变元的项与谓词exist无关
7. $\exists x (A(x) \rightarrow B(x)) \Leftrightarrow \forall x A(x) \rightarrow \exists x B(x)$ # 存在x满足A成立时B也也必然成立时；则等价于任意x使得A成立，那么B必然也成立
8. $\forall x A(x) \rightarrow B \Leftrightarrow \exists x (A(x) \rightarrow B)$ # 任意的x只要满足A，则B成立；那么就等价于存在x使得A满足时B成立。
9. $\exists x A(x) \rightarrow B \Leftrightarrow \forall x (A(x) \rightarrow B)$ # 存在x满足A，则B成立；那么等价于任意的x满足A推出B
10. $A \rightarrow \forall x B(x) \Leftrightarrow \forall x (A \rightarrow B(x))$ # A能推出任意x满足B；则等价于任意x满足A能推出B
11. $A \rightarrow \exists x B(x) \Leftrightarrow \exists x (A \rightarrow B(x))$ # A能推出存在x满足B；则等价于存在x满足A能推出B
12. $\forall x A(x) \lor \forall x B(x) \Leftrightarrow \forall x (A(x) \lor B(x))$ # 任意x满足A或任意x满足B；等价于任意x满足A或B
13. $\exists x A(x) \land \exists x B(x) \Leftrightarrow \exists x (A(x) \land B(x))$ # 存在x满足A且存在满足B；等价于存在x即满足A又满足B
14. $\exists x A(x) \rightarrow \forall x B(x) \Leftrightarrow \forall x (A(x) \rightarrow B(x))$ # 存在x满足A，可以推出任意的x都满足B；等价于任意x满足"A可以推出B"

量词+否定

$\lnot \forall x Q(x) \Leftrightarrow \exists x \lnot Q(x)$ # 不是所有的x都满足Q；也就是存在不满足Q的x

$\lnot \exists x Q(x) \Leftrightarrow \forall x \lnot Q(x)$ # 不存在满足Q的x；也就是所有的x都步满足Q

3.4 前束范式

任何公式都可以表示成等值的析取范式或者合取范式；并且主析取范式和主合取范式是唯一的。

同样地，谓词公式的规范表示形式叫前束范式。它要求：

1. 量词均在全式的开头
2. 它们的作用域延伸到整个公式的末尾

形式上：$(Q_1V_1)(Q_2V_2)(...)(Q_nV_n)A$

• Q是量词
• V是各个量词的指导变元
• A不含量词的谓词公式

例如：

• $\forall y \forall x \exists z (Q(x,y) \rightarrow R(z))$ #是前束范式
• $\forall x \forall y (\lnot P(x,y) \rightarrow Q(y))$ #是前束范式
• $\forall x R(x) \land \exists y S(x)$ #不是前束范式

任何一个谓词公式，均存在与之等值的前束范式。但是一般并不唯一。

求谓词公式的前束范式步骤：

1. 对辖域的同名变元换名
2. 利用定理将否定联接词深入到命题变元前面
3. 利用等值式将量词移动到全式的最前面

$\forall x (A \lor B(x)) \Leftrightarrow A \lor \forall x B(x)$

$\exists x (A \land B(x)) \Leftrightarrow A \land \exists x B(x)$

例1：求$\forall x P(x) \land \lnot \exists x Q(x)$ 的前束范式

解：$\Leftrightarrow \forall x P(x) \land \lnot \exists y Q(y)$ # 换名规则

$\Leftrightarrow \forall x P(x) \land \forall y \lnot Q(y)$ # 量词转化

$\Leftrightarrow \forall x \forall y (P(x) \land Q(y))$ # 量词提前

例2：求$(\forall x P(x) \lor \exists y Q(y)) \rightarrow \forall x R(x)$ 的前束范式

解：$\Leftrightarrow (\forall x P(x) \lor \exists y Q(y)) \rightarrow \forall z R(z)$ # 换名规则

$\Leftrightarrow \lnot (\forall x P(x) \lor \exists y Q(y)) \lor \forall z R(z)$ # 等值转化

$\Leftrightarrow (\lnot \forall x P(x) \land \lnot \exists y Q(y)) \lor \forall z R(z)$ # 等值转化

$\Leftrightarrow (\exists x \lnot P(x) \land \forall y \lnot Q(y)) \lor \forall z R(z)$ # 量词转化

$\Leftrightarrow \exists x \forall y (\lnot P(x) \land \lnot Q(y)) \lor \forall z R(z)$ # 量词提前

$\Leftrightarrow \exists x \forall y \forall z ((\lnot P(x) \land \lnot Q(y)) \lor R(z))$ # 量词提前 ; 其实写道这里就没问题了

$\Leftrightarrow \exists x \forall y \forall z (\lnot (P(x) \lor Q(y)) \lor R(z))$ # 等值转化

$\Leftrightarrow \exists x \forall y \forall z ( (P(x) \lor Q(y)) \rightarrow R(z))$ # 等值转化

3.5 谓词演算额推理逻辑

其实就是包含量词的命题进行推理的逻辑。

规则总结如下：

1. P规则：引入规则(引入题目中的条件)
2. T规则：进行等值转换或者推理
3. CP规则：将题目中结论的一部分转为条件或者条件中的一部分转为结论

重点：消去和添加量词。

全称量词消去	全称量词引入	存在量词消去	存在量词引入
$\forall -$	$\forall +$	$\exists -$	$\exists +$
$\underline{\forall x P(x)} \therefore P(c)$	$\underline{P(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \therefore \forall x P(x)$	$\underline{\exists x P(x)} \therefore P(c)$	$\underline{P(c) \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \therefore \exists x P(x)$
c是论域中的任意一个个体	P(x)成立则任意x都使得P(x)成立	c并非任意的	只要有c使P(x)成立，那么一定有x使得P(x)成立。

例 3.17： 设H(x)：x是一个人；M(x)：x是要死的；S：苏格拉底；则著名的苏格拉底论证可以表示为：

$\forall x (H(x) \rightarrow M(x)) \land H(S) \vdash M(S)$

证明：

(1) $\forall x (H(x) \rightarrow M(x))$ # P规则

(2) $H(S) \rightarrow M(S)$ # 全称量词消去规则 (1)

(3) $H(S)$ # P规则

(4) $M(S)$ # T规则 (2)(3)

??有没有大佬知道51cto博客的表格中的公式怎么换行啊??