【离散数学】第二章 命题逻辑的推理逻辑

2.1 范式

范式就是逻辑上等价的标准形式；不同的范式就是满足不同规则的等价形式。

简单合取式

简单合取式的概念：由0或有限个合取式和否定式构成

有限个文字构成的合取式(式子中只能是命题本身或其否定以及命题间肯定与否定的析合取组合构成，命题与其否定形式可以同时出现；并非所有的命题都要出现)

如$p,\neg q,p \wedge p,p \wedge \lnot p,p \wedge \neg q,p \wedge q \wedge r,…$

简单析取式

简单析取式的概念：由0或有限个析取式和否定式构成

有限个文字构成的析取式(式子中只能是命题本身或其否定以及命题间肯定与否定的析取组合构成，命题与其否定形式可以同时出现；并非所有的命题都要出现) 如 $p, \neg q,p \vee p, p \vee \lnot p,p \vee\neg q, p \vee q \vee r, …$

例子

• p ， ¬q既是一个简单析取式，又是一个简单合取式
• p ∨ ¬q , p ∨ r 均是有两个文字的简单析取式
• p ∧ q ∧ r , ¬ p∧ q ∧ ¬q 均是有三个文字的简单合取式 #注意这里出现了q和¬q；这在简单析取(合取)式中式允许的。

合取范式

由n个简单析取式通过合取联结词构成(n>=1)

即形如：

$(析取式1)\land(析取式2)\land(析取式3)\land ... \land(析取式i)\land ... \land(析取式n)...$

一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：$A_1∧A_2∧A_3∧…∧A_n$(n>=1),其中$A_1,A_2,A_3…A_n$都是简单析取式。

例如：

$(\lnot P \lor Q \lor S) \land (\lnot P \lor \lnot R \lor S)$

$(\lnot P \lor Q \lor S) \land (\lnot P \lor \lnot R \lor S) \land (P \lor \lnot P) \land P \land \lnot R$

析取范式

由n个简单合取式通过析取联结词构成(n>=1)

即形如：

$(合取式1)\lor(合取式2)\lor(合取式3)\lor ... \lor(合取式i)\lor ... \lor(合取式n)...$

一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：$A_1∨A_2∨A_3∨…∨A_n$(n>=1),其中$A_1,A_2,A_3…A_n$都是简单合取式。

例如：

$P \vee (Q \land R)$ #析取范式

$(P \land P) \lor (P \land R) \lor (P \land Q) \lor (Q \land R)$ #析取范式

范式存在定理: 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。

命题公式的析取（合取）范式不是唯一的，可以有很多种;并且可以互相转化。

例如：

$P \lor (Q \land R) \Leftrightarrow (P \lor Q) \land (P \lor R)$

例子：

例2.1 求$(P \land (Q \rightarrow R)) \rightarrow S$的析取范式和合取范式

解：$(P \land (Q \rightarrow R)) \rightarrow S \Leftrightarrow (P \land (\lnot Q \lor R)) \rightarrow S$

$\Leftrightarrow \lnot (P \land (\lnot Q \lor R)) \lor S$

$\Leftrightarrow \lnot ((P \land \lnot Q) \lor (P \land R)) \lor S$

$\Leftrightarrow (\lnot(P \land \lnot Q) \land \lnot(P \land R)) \lor S$

$\Leftrightarrow ((\lnot P \lor Q) \land (\lnot P \lor \lnot R)) \lor S$         # 关键的结论①；由此式转换为合取或析取范式

$\Leftrightarrow ((\lnot P \lor Q) \lor S) \land ((\lnot P \lor \lnot R) \lor S)$

$\Leftrightarrow (\lnot P \lor Q \lor S) \land (\lnot P \lor \lnot R \lor S)$      #合取范式

由①式变换：将$(\lnot P \lor \lnot R)$看作一个整体

$\Leftrightarrow ((\lnot P \land (\lnot P \lor \lnot R)) \ \ \ \ \lor \ \ \ \ (Q \land (\lnot P \lor \lnot R))) \ \ \ \ \lor S$

$\Leftrightarrow (((\lnot P \land \lnot P) \lor (\lnot P \land \lnot R)) \ \ \ \ \lor \ \ \ \ ((Q \land \lnot P) \lor (Q \land \lnot R))) \lor S$

$\Leftrightarrow \lnot P \lor (\lnot P \land \lnot R) \lor (\lnot P \land Q) \lor (Q \land \lnot R) \lor S$         #析取范式

结论：

由此例也可以得出，析取范式和合取范式可以相互转化。并且也不是唯一的

例子

求给定范式的步骤：

• 消去联结词→ , ↔
• 用双重否定律消去双重否定词，用德摩根律内移否定符
• 使用分配律：求析取范式时使用∧和∨的分配律，求合取范式时使用∨和∧的分配律

为了求出命题公式的唯一规范化形式的范式，必须先将简单合取式和简单析取式规范化：

在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必须出现且仅出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）

小项(本身是合取式；关注成真指派；越合越小)

由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次$(\star \star \star \star \star )$，因而n个命题变项共可产生$2^n$个不同的极小项。其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。将成真赋值所对应的二进制数转化为十进制数为i，就将所对应的极小项记作$m_i$。

为了便于记忆，将p , q 与p , q , r 形成的极小项分别列在下表：

指	派	小项	小项	小项	小项	名称(二进制)	名称(十进制)
P	Q	$P \land Q$	$P \land \lnot Q$	$\lnot P \land Q$	$\lnot P \land \lnot Q$	成真指派	成真指派
0	0	0	0	0	1	$m_{00}$	$m_0$
0	1	0	0	1	0	$m_{01}$	$m_1$
1	0	0	1	0	0	$m_{10}$	$m_2$
1	1	1	0	0	0	$m_{11}$	$m_3$

当指派P为0；Q为0时，所有项中只有$\lnot P \land \lnot Q$ 是成真的；这个项我们记作$m_{00}$,其中的00分别代表P为0，Q为0；转化为十进制表示为$m_0$。

0对应 $\lnot P$、$\lnot Q$ ； 1 对应 $P、Q$。 # 注意这里与大项的区别

其他的也是按此理解。(看值为1的对角线)

这里的$m_0 ...m3$都是小项；在后续的主析取范式中我们只取其中真值为真的小项组合成主析取范式。

指		派	小项	小项	小项	小项	小项	小项	小项	小项	名称(二进制)	名称(十进制)
P	Q	R	$P\land Q \land R$	$P\land Q \land \lnot R$	$P\land \lnot Q \land R$	$P\land \lnot Q \land \lnot R$	$\lnot P\land Q \land R$	$\lnot P\land Q \land \lnot R$	$\lnot P\land \lnot Q \land R$	$\lnot P\land \lnot Q \land \lnot R$	成真指派	成真指派
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	$m_{000}$	$m_0$
0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	$m_{001}$	$m_1$
0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	$m_{010}$	$m_2$
0	1	1	0	0	0	0	1	0	0	0	$m_{011}$	$m_3$
1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	$m_{100}$	$m_4$
1	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	$m_{101}$	$m_5$
1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	$m_{110}$	$m_6$
1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	$m_{111}$	$m_7$

当指派P为0；Q为1；R为0时，所有项中只有$\lnot P \land Q \land \lnot R$ 是成真的；这个项我们记作$m_{010}$,其中的010分别代表P为0，Q为1，R为0；转化为十进制表示为$m_2$。

其他的也是按此理解。(看值为1的对角线)

这里的$m_0 ...m7$都是小项；在后续的主析取范式中我们只取其中真值为真的小项组合成主析取范式。

大项(本身是析取式；关注成假指派；越或越大)

类似地，由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次（$\star \star \star \star \star$），n个命题变项共可产生$2^n$个不同的极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将成假赋值所对应的十进制数i做极大项的角标，记作$M_i$。

为了便于记忆，将p , q 与p , q , r 形成的极大项分别列在下表：

为了便于记忆，将p , q 与p , q , r 形成的极小项分别列在下表：

指	派	小项	小项	小项	小项	名称(二进制)	名称(十进制)
P	Q	$P \lor Q$	$P \lor \lnot Q$	$\lnot P \lor Q$	$\lnot P \lor \lnot Q$	成假指派	成假指派
0	0	0	1	1	1	$M_{00}$	$M_0$
0	1	1	0	1	1	$M_{01}$	$M_1$
1	0	1	1	0	1	$M_{10}$	$M_2$
1	1	1	1	1	0	$M_{11}$	$M_3$

当指派P为0；Q为0时，所有项中只有 $P \lor Q$ 是成假的；这个项我们记作$M_{00}$,其中的00分别代表P为0，Q为0；转化为十进制表示为$M_0$。

0对应 P、Q ； 1 对应$\lnot P、\lnot Q$。 # 注意这里与小项的区别

其他的也是按此理解。(看值为0的对角线)

这里的$m_0 ...m3$都是大项；在后续的主合取范式中我们只取其中真值为假的大项组合成主合取范式。

指		派	小项	小项	小项	小项	小项	小项	小项	小项	名称(二进制)	名称(十进制)
P	Q	R	$P\lor Q \lor R$	$P\lor Q \lor \lnot R$	$P\lor \lnot Q \lor R$	$P\lor \lnot Q \lor \lnot R$	$\lnot P\lor Q \lor R$	$\lnot P\lor Q \lor \lnot R$	$\lnot P\lor \lnot Q \lor R$	$\lnot P\lor \lnot Q \lor \lnot R$	成假指派	成假指派
0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	$M_{000}$	$M_0$
0	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	$M_{001}$	$M_1$
0	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1	$M_{010}$	$M_2$
0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	$M_{011}$	$M_3$
1	0	0	1	1	1	1	0	1	1	1	$M_{100}$	$M_4$
1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1	$M_{101}$	$M_5$
1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	$M_{110}$	$M_6$
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	$M_{111}$	$M_7$

当指派P为0；Q为1；R为0时，所有项中只有 $P \lor \lnot Q \lor R$ 是成假的；这个项我们记作$M_{010}$,其中的00分别代表P为0，Q为1；转化为十进制表示为$M_2$。

0对应 P、Q ； 1 对应$\lnot P、\lnot Q$。 # 注意这里与小项的区别

其他的也是按此理解。(看值为0的对角线)

这里的$m_0 ...m7$都是大项；在后续的主合取范式中我们只取其中真值为假的大项组合成主合取范式。

2.2 主范式

主析取范式

定义：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称为原式的主析取范式。

定理1-1：在公式的真值表中，所有真值为T的指派所对应的小项的析取，即构成该公式的主析取范式。

定理1-2：任何命题公式都存在与之等值的主析取范式，并且是唯一的。

主合取范式

对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。

定理1-1：在公式的真值表中，所有真值为F的指派所对应的大项的合取，即构成该公式的主合取范式。

定理1-2：任何命题公式都存在与之等值的主合取范式，并且是唯一的。

例子

例：求(p→q)∧(q→r) 的主析取范式和主合范式。

解：(p→q)∧(q→r)

= (¬p∨q)∧(¬q∨r) -----------------------------（蕴涵等值式：化简→）

= ((¬p∨q)∨(¬r∧r)))∧((¬q∨r)∨(¬p∧p)) ----------（矛盾律：补齐变元）

= (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r) ----------（分配律：化简）

上式明显是由析取式合取而成的合取范式

合取范式由大项组成；大项本身是简单析取式且取值为假；

因此，上式中各大项的取值情况是：

$=(p:1, q:0, r:1) \land (p:1, q:0, r:0) \land (p:1, q:1, r:0) \land (p:0, q:1, r:0)$         #这种写法在草稿上用就行，正式为了好理解，不能出现在答案中。

即：

$=M_{101} \land M_{100} \land M_{110} \land M_{010}$

转化为十进制：

$=M_5 \land M_4 \land M_6 \land M_2$         # 主合取范式是由大项组成的合取式；用M表示

根据主合取范式与主析取范式的关系，我们可以直接得出该式的主析取范式：

=$m_0 \lor m_1 \lor m_3 \lor m_7$        # 主析取范式是由小项组成的合取式；用m表示；小项的下标正好与大项互补。

$= m_{000} \lor m_{001} \lor m_{011} \lor m_{111}$

$= (\lnot p \land \lnot q \land \lnot r) \lor (\lnot p \land \lnot q \land r) \lor (\lnot p \land q \land r) \lor (p \land q \land r)$        # 使各小项的真值为真

由演算结果可知:

主合取范式可以表示成：$∏(2,4,5,6)$         # 主范式的一种写法

成假赋值：$010、100、101、110$

则 主析取范式可以表示成：$∑(0,1,3,7)$ # 主范式的一种写法

成真赋值：000、001、011、111

助记

小项$m_{100}$ 即：$P \land \lnot Q \land \lnot R$ 其真值为真。

大项$M_{100}$ 即：$\lnot P \lor Q \lor R$其真值为假。

例题1【主析取范式】

题目：使用真值表和等值演算法写出公式A：$\lnot (P \rightarrow Q) \land \lnot Q \land \lnot R$ 的主析取范式。

解：(1) 真值表法

P	Q	R	$P\rightarrow Q$	$\lnot (P\rightarrow Q)$	$\lnot Q$	$\lnot R$	$\lnot (P\rightarrow Q) \land \lnot Q \land \lnot R$
0	0	0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	0	0	1	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0

由真值表可知；真值为1的小项只有$(P:1, Q:0, R:0)$的情况；其对应的小项是$m_{100}$即：$(P \land \lnot Q \land \lnot R)$。

这个式子比较特殊它只由一个小项组成，不要没看到析取联接词就不认识了。

$P \land \lnot Q \land \lnot R$

$\Leftrightarrow m_{100}$

$\Leftrightarrow m_4$

$\Leftrightarrow \sum(4)$

(2) 等值演算法

$\lnot (P \rightarrow Q) \land \lnot Q \land \lnot R$

$\Leftrightarrow \lnot(\lnot P \lor Q) \land \lnot Q \land \lnot R$

$\Leftrightarrow (P \land \lnot Q) \land \lnot Q \land \lnot R$

$\Leftrightarrow P \land \lnot Q \land \lnot R$

$\Leftrightarrow m_{100}$

$\Leftrightarrow m_4$

$\Leftrightarrow \sum(4)$

结果与真值表得出的结果一致。

例题2【主析取范式】

题目：使用真值表和等值演算法写出公式A：$(P \lor (Q \land R)) \rightarrow (P \land Q \land R)$的主析取范式。

解：(1) 真值表法

P	Q	R	$Q \land R$	$P \lor (Q \land R)$	$P \land Q \land R$	A
0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	1
0	1	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1	1

由真值表可知：真值为1的所有真值为真的小项进行析取即是公式A的主析取范式了；我们这里真值为真的小项有：

$m_{000}、 m_{001}、m_{010}、m_{111}$ 即：$\lnot P \land \lnot Q \land \lnot R、\lnot P \land \lnot Q \land R、\lnot P \land Q \land \lnot R、P \land Q \land R$

因此主析取范式是：

$m_{000}\lor m_{001}\lor m_{010}\lor m_{111}$

$\Leftrightarrow m_0 \lor m_1 \lor m_2 \lor m_7$

$\Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q \land \lnot R) \lor (\lnot P \land \lnot Q \land R) \lor (\lnot P \land Q \land \lnot R) \lor (P \land Q \land R)$

$\Leftrightarrow \sum(0,1,2,7)$

(2) 等值演算法

$(P \lor (Q \land R)) \rightarrow (P \land Q \land R)$

$\Leftrightarrow \lnot (P \lor (Q \land R)) \lor (P \land Q \land R)$

$\Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot(Q \land R)) \lor (P \land Q \land R)$

$\Leftrightarrow (\lnot P \land (\lnot Q \lor \lnot R)) \lor (P \land Q \land R)$

$\Leftrightarrow ((\lnot P \land \lnot Q) \lor (\lnot P \land \lnot R)) \lor (P \land Q \land R)$

$\Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q)\lor(\lnot P \land \lnot R)\lor(P \land Q \land R)$

上面由析取联接符连接的3个式子中，前2个缺少变元或其变元否定形式，我们需要补齐。

方法：$(\lnot P \land \lnot Q) \Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q) \land (R \lor \lnot R) \Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q \land R) \lor (\lnot P \land \lnot Q \land \lnot R)$

$R \lor \lnot R$真值永远是T；$X \land T \Leftrightarrow X$

同理；$(\lnot P \land \lnot R) \Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot R) \land (Q \lor \lnot Q) \Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot R \land Q) \lor (\lnot P \land \lnot R \land \lnot Q)$

因此：

$\Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q \land R) \lor (\lnot P \land \lnot Q \land \lnot R) \lor (\lnot P \land \lnot R \land Q) \lor (\lnot P \land \lnot R \land \lnot Q) \lor (P \land Q \land R)$

第2项和第4项重复；保留一个即可：（如果太多元素，可以将上式先转化为$m_{xyz}$的形式，更容易识别。）

$\Leftrightarrow (\lnot P \land \lnot Q \land R) \lor (\lnot P \land \lnot Q \land \lnot R) \lor (\lnot P \land Q \land \lnot R) \lor (P \land Q \land R)$ #这里一定要主语变元的顺序要一致。

$\Leftrightarrow m_{001} \lor m_{000} \lor m_{010} \lor m_{111}$

$\Leftrightarrow m_0 \lor m_1 \lor m_2 \lor m_7$

$\Leftrightarrow \sum(0,1,2,7)$

例题3【主合取范式】

题目：使用真值表法和等值演算法求公式A：$\lnot(P \rightarrow Q) \land \lnot Q \land \lnot R$的主合取范式

解：（1）真值表法

P	Q	R	$P\rightarrow Q$	$\lnot (P\rightarrow Q)$	$\lnot Q$	$\lnot R$	$\lnot (P\rightarrow Q) \land \lnot Q \land \lnot R$
0	0	0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	0	0	1	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0

注：真值表与例1是一样的；只是主合取范式关注大项；而大项取得是真值为假得项。

由真值表可知；真值为0的大项有7个；分别是：

$M_{000}、M_{001}、M_{010}、M_{011}、M_{101}、M_{110}、M_{111}$

对应 :

$P \lor Q \lor R、P \lor Q \lor \lnot R、P \lor \lnot Q \lor R、P \lor \lnot Q \lor \lnot R、\lnot P \lor Q \lor \lnot R、\lnot P \lor \lnot Q \lor R、\lnot P \lor \lnot Q \lor \lnot R$

因此，其主合取范式为：

$M_{000} \land M_{001} \land M_{010} \land M_{011} \land M_{101} \land M_{110} \land M_{111}$

$\Leftrightarrow M_0 \land M_1 \land M_2 \land M_3 \land M_5 \land m_6 \land M_7$

$\Leftrightarrow (P \lor Q \lor R) \land (P \lor Q \lor \lnot R) \land (P \lor \lnot Q \lor R) \land (P \lor \lnot Q \lor \lnot R) \land (\lnot P \lor Q \lor \lnot R) \land (\lnot P \lor \lnot Q \lor R) \land (\lnot P \lor \lnot Q \lor \lnot R)$

$\Leftrightarrow \prod (0,1,2,3,5,6,7)$

（2）等值演算法

$\lnot (P \rightarrow Q) \land \lnot Q \land \lnot R$

$\Leftrightarrow \lnot(\lnot P \lor Q) \land \lnot Q \land \lnot R$

$\Leftrightarrow (P \land \lnot Q) \land \lnot Q \land \lnot R$

$\Leftrightarrow P \land \lnot Q \land \lnot R$

观察上式是由合取联接词构成得3个部分；但是3个部分都缺少2个变元或者他们得否定形式；为了满足主合适范式的定义，我们需要补齐缺少的变元部分。

方法：$P \Leftrightarrow P \lor (Q \land \lnot Q) \Leftrightarrow (P \lor Q) \land (P \lor \lnot Q) \Leftrightarrow [(P \lor Q) \lor (R \land \lnot R)] \land [(P \lor \lnot Q) \lor (R \land \lnot R)]$

$(P \lor Q \lor R) \land (P \lor Q \lor \lnot R) \land (P \lor \lnot Q \lor R) \land (P \lor \lnot Q \lor \lnot R)$

原理：$X \lor F \Leftrightarrow X$

同理有：

$\lnot Q \Leftrightarrow (P \lor \lnot Q \lor R) \land (P \lor \lnot Q \lor \lnot R) \land (\lnot P \lor \lnot Q \lor R) \land (\lnot P \lor \lnot Q \lor \lnot R)$

$\lnot R \Leftrightarrow (P \lor Q \lor \lnot R)\land(P \lor \lnot Q \lor \lnot R)\land(\lnot P \lor Q \lor \lnot R)\land(\lnot P \lor \lnot Q \lor \lnot R)$

源式 $\Leftrightarrow (P \lor Q \lor R) \land (P \lor Q \lor \lnot R) \land (P \lor \lnot Q \lor R) \land (P \lor \lnot Q \lor \lnot R) \land$

$(P \lor \lnot Q \lor R) \land (P \lor \lnot Q \lor \lnot R) \land (\lnot P \lor \lnot Q \lor R) \land (\lnot P \lor \lnot Q \lor \lnot R) \land$

$(P \lor Q \lor \lnot R)\land(P \lor \lnot Q \lor \lnot R)\land(\lnot P \lor Q \lor \lnot R)\land(\lnot P \lor \lnot Q \lor \lnot R)$

$\Leftrightarrow M_{000} \land M_{001} \land M_{010} \land M_{011} \land M_{010} \land M_{011} \land M_{110} \land M_{111} \land M_{001} \land M_{011} \land M_{101} \land M_{111}$

$\Leftrightarrow M_{000} \land M_{001} \land M_{010} \land M_{011} \land M_{110} \land M_{111} \land M_{101}$

$\Leftrightarrow M_0 \land M_1 \land M_2 \land M_3 \land M_5 \land M_6 \land M_7$

$\Leftrightarrow \prod(0,1,2,3,5,6,7)$

2.3 自然推理系统

https://blog.csdn.net/qq_42902997/article/details/120068010

当前提较多时，有效论证的判断方法会增加判定的复杂度，因此引入自然推理系统来简化有效推理的过程。

命题公式$H_1,H_2,...,H_n和C$；若 对H和C中的命题变元任意一组赋值，使得$H_1 \land H_2 \land ... \land H_n$为假或者真时C也为真，则称前提：$H_1,H_2,...,H_n$推出结论C的推理是有效的，正确的；并称其为有效结论或者逻辑结论。（注意：与真实的事实不一定相符。） ，记作$H_1 \land H_2 \land ... \land H_n \vdash C$

自然推理的构成：

• 字母表

• 命题变元（$p,q,r,...$）
• 连接词符号($\lnot , \land, \lor , \rightarrow, \leftrightarrow, ...$ )
• 括号与逗号($() 、,$)

• 合式公式
• 推理规则

• P规则 也叫 前提引入规则

• 在推导过程中，前提(已知条件)可根据推导的需要随时引入。

• T规则 也叫 结论引入规则

• 在推导过程中，前面已经推导出的有效结论都可以作为后续推导的前提引入。

• 置换规则 也用T表示，

• 等价置换

• 假言推理规则
  $A$
  $\underline{A \rightarrow B}$
  $\therefore B$
• 附加规则
  $\underline{\ \ \ \ \ \ A \ \ \ \ \ \ }$
  $\therefore A \lor B$
• 化简规则
  $\underline{A \land B}$
  $\therefore A$
• 拒取式规则
  $A \rightarrow B$
  $\underline{\lnot B \ \ \ \ \ \ \ \ }$
  $\therefore \lnot A$
• 假言三段论规则
  $A \rightarrow B$
  $\underline{B \rightarrow C \ \ \ \ \ \ \ }$
  $\therefore A \rightarrow B$
• 析取三段论规则
  $A \or B$
  $\underline{\lnot B \ \ \ \ \ \ \ \ }$
  $\therefore A$
• 构造性二难推理规则
  $A \rightarrow B$
  $C \rightarrow D$
  $\underline{A \lor C \ \ \ \ \ \ \ \ }$
  $\therefore B \or D$
• 破坏性二难推理规则
  $A \rightarrow B$
  $C \rightarrow D$
  $\underline{\lnot B \lor \lnot D \ \ \ \ \ \ \ \ }$
  $\therefore \lnot A \or \lnot B$
• 合取引入规则
  $A$
  $\underline{B \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
  $\therefore A \land B$
• 消解/归结规则
  $A \lor B$
  $\underline{ \lnot A \lor C \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
  $\therefore B \lor C$

等值公式表

见第一章

推理定律表

见第一章

推理的证明

直接证明（P规则、T规则）

由前提利用推理规则直接推出结论。

【示例：】

题目：若明天下雨或者下雪，我明早就要出门做救援。若我明早出门做救援，今晚必须准备物资料。我今晚没有准备物资。因此明天不下雨也不下雪。

解：(1) 首先，命题符号化，设：

P: 明天下雨

Q: 明天下雪

R: 我明早出门做救援

S: 我今晚准备物资

(2) 写出证明的形式结构：

前提：$(P \lor Q) \rightarrow R, R \rightarrow S, \lnot S$

结论：$\lnot P \land \lnot Q$

(3) 证明：

①$R \rightarrow S$         P

②$\lnot S$        P

③$\lnot R$         T,①②拒取式

④$(P \lor Q) \rightarrow R$           P

⑤$\lnot (P \lor Q)$           T,③④拒取式

⑥$\lnot P \land \lnot Q$           T,⑤置换

注意：用的是P规则还是T规则一起过要写清楚，该规则使用到的式子是那几个一定要写清楚；使用的是哪一个推理规则要把名字写出来。

附加前提证明（CP规则，附加前提引入规则）

如果结论是一个蕴含式，那么可以把蕴含式的前提移动到整个式子的前提中作为一个附加前提。

Example

想证明：$A_1 \wedge A_2 \wedge ...A_n \vdash C \rightarrow B$ 【可以理解为$A_1 \wedge A_2 \wedge ...A_n \Rightarrow (C \rightarrow B)$】 相当于证明：$A_1\wedge A_2 \wedge ...A_n \wedge C \vdash B$

【示例：】

题目：如果小王和小张去看电影，则小李也去看电影。小赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去。

解：(1) 将命题符号化：

P: 小张去看电影

Q: 小王去看电影

R: 小李去看电影

S: 小赵去看电影

(2)写出要证明的表达式：

前提：$(P \land Q) \rightarrow R, \lnot S \lor P, Q$

结论：$S \rightarrow R$

(3) 证明：

①$S$                     CP # 将结论中的前件S附加到条件中

②$\lnot S \lor P$             P

③$P$                     T,①②析取三段论

④$(P \land Q)\rightarrow R$       P

⑤$Q$                      P

⑥$P \land R$                T,③⑤合取

⑦$R$                     T,④⑥假言推论

反证法/归谬法（结论的否定作为条件引入，最终证明出一个永假式）

要证明：$A_1\wedge A_2 \wedge ...A_n \vdash B$

就要证明：$A_1\wedge A_2 \wedge ...A_n \wedge ¬ B \vdash \bot$ 【$\bot$ 可以理解为永假】

即：在前提中加入$\lnot B$ 推出矛盾。

归谬法的证明逻辑：

假如需要证明：$(A_1 \land A_2 \land ... \land A_n) \rightarrow B$

$\Leftrightarrow \lnot(A_1 \land A_2 \land ... \land A_n) \lor B$

$\Leftrightarrow \lnot ((A_1 \land A2 \land ... \land A_n) \land B)$

$\Leftrightarrow \lnot(A_1 \land A_2 \land A_3 \land ... \land A_n \land B)$

因此只要证明$\lnot(A_1 \land A_2 \land A_3 \land ... \land A_n \land B)$ 总是成立即可；

$\Leftrightarrow \lnot(A_1 \land A_2 \land A_3 \land ... \land A_n \land B)$$\Leftrightarrow \lnot(A_1 \land A_2 \land A_3 \land ... \land A_n \land B) \lor F$

$\Leftrightarrow A_1 \land A_2 \land A_3 \land ... \land A_n \land B \rightarrow F$

即证明$\Leftrightarrow A_1 \land A_2 \land A_3 \land ... \land A_n \land B$ 永假。

【示例：】

题目：如果小张守第一垒并且小李向B队掷球，则A队将取胜。或者A队未取胜，或者A队成为联赛第一名。A队没有成为联赛第一名。小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。

解：(1) 将命题符号化：

P: 小张守第一垒

Q: 小李向B队投球

R: A队取胜

S: A队成为联赛第一名

(2)写出要证明的表达式：

前提：$(P \land Q) \rightarrow R, \lnot R \lor S, \lnot S, P$

结论：$\lnot Q$

(3) 证明：(归谬法)

①$Q$                                                P #结论的否定引入

②$\lnot R \lor S$                                         P

③$\lnot S$                                               P

④$\lnot R$                                              T,②③析构三段论

⑤$(P \land Q) \rightarrow R$                                  P

⑥$\lnot (P \land Q)$                                       T,④⑤拒取式

⑦$\lnot P \lor \lnot Q$                                       T,⑥置换

⑧$P$                                                P

⑨$\lnot Q$                                              T,⑦⑧析取三段论

⑩$Q \land \lnot Q$                                         T,①⑨合取