第二章 随机变量及其分布
第一章种学习了随机现象、随机试验、随机事件等概念，讨论了随机事件的关系、运算以及概率；且只考虑了个别事件下的频率问题。接下来，进一步第需要建立随机试验结果与实数的对应关系，这类似于函数的映射，我们称之为随机变量，以便使用高等数学的方法来研究随机试验。
1 离散型随机变量
1.1 随机变量的概念
随机变量的数学定义：
定义1：设E为随机试验，Ω为其样本空间，若对于每一个结果(样本点)ω∈Ω，都有一个实数X(ω)与之对应；这样就得到一个定义在Ω上的实值函数X=X(ω)，称为随机变量；随机变量通常用、、X、Y、Z或者X1,X2,...来表示。
注意：对于一个随机试验可以有与之关联的多个随机变量，而不是仅有一个；随着不同研究的需要，我们可以定义不同的随机变量。
我们可以试验随机变量描述事件，例如：在掷硬币试验中{X=1}表示"出现正面"，{X=0}表示"出现反面"且P{X=1}=12。
当然：、{X=1}、{X=0}只是习惯的、相对较为普遍的用法并不是唯一的用法；我们使用{X=100}表示"出现正面"，{X=200}表示"出现反面"是完全没有问题且正确的，只是不那么习惯而已。
在掷骰子试验中，我们可以使用{X=6}表示"出现6点"，P{X=6}=16；使用{X≥4}表示"出现4/5/6点"，{X≥4}={X=4,5,6}，P{X≥4}=12。
1.2 离散型随机变量及其分布律
随机变量的取值可能是有限个，也可能是无限个。
定义2：若随机变量X只取有限多个或可列的无限多个值(可以枚举表示的)，则称X为离散型随机变量。
大白话就是值是一个个的，颗粒状的，不连续的。
定义 设X为离散型随机变量，可能的取值为X1,X2,...,Xk,...，且P{X=xk}=Pk, k=1,2,3,...，则称其为X的分布律或分布列或者概率分布。
分布律也可以使用表格形式表达：
X | X1 | X2 | X3 | ... | Xk | ... |
P | p1 | p2 | p3 | ... | pk | ... |
分布律{pk}具有以下性质：
(1) pk, k=1,2,...； # pk是概率嘛
(2) ∑k=1∞pk=1; # {X=Xk}, k=1,2,...之间是互不相容的事件，且∪k=1∞{X=Xk}=Ω。
反之，若某数列{pk}具有以上两条性质，则他们必可作为某随机变量的分布律。
例1：设离散型随机变量X的分布律为：
X | 0 | 1 | 2 |
P | 0.2 | c | 0.5 |
求常数c。
解：由分布律的性质知：0.2+c+0.5=1; ∴c=0.3。
例2：掷一枚质地均匀的骰子，这X为出现的点数，求X的分布律。
解：X全部可能的取值为"1, 2, 3, 4, 5, 6"，且pk=p{X=k}=16, k=1,2,3,4,5,6；则X的分布律为：
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
P | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 |
技巧：首先找出随机变量所有可能的取值，然后求出每个取值对应的概率，做成表格即可。
★★例3：袋中由编号1~5的5个球，从中取3个，这X为取出的球中的最大编号，求X的分布律。
解：X全部可能的取值为"3, 4, 5"；用古典概型计算概率：
P{X=3}=C22C53=110 # 分母：全部5个球中取3个；分子：如果最大球是3，3已经确定取出，只有从1，2这2球中取另外2个。
P{X=4}=C32C53=310
P{X=5}=C42C53=610
因此X的分布律如下：
X | 3 | 4 | 5 |
P | 110 | 310 | 610 |
★★例4：已知一批零件10个，其中3个不合格，今任取一个，若取到不合格的就丢掉，再重新取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。
解：X可能的取值是："0, 1, 2, 3"；设Ai表示"第i次取出的零件不合格，i=1,2,3,4"。
P{X=0}=P(A1―)=710
P{X=1}=P(A1A2―)=P(A1)P(A2―|A1)=310×79=730
P{X=2}=P(A1A3A3―)=P(A1)P(A2|A1)P(A3―|A1A2)=310×29×78=7120
P{X=3}=P(A1A2A3A4―)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4―|A1A2A3)=310×29×18×77=1120
故X的分布律为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 710 | 730 | 7120 | 1120 |
若需要求X满足某一条件这样的事件概率，例如例2中要求掷出的点数是奇数的概率，则应将满足条件的所有X对应的概率相加即可。
1.3 0-1分布与二项分布
下面介绍三种重要的常用离散型随机变量，它们是：0−1分布、二项分布和泊松分布。
定义4：若随机变量X只取两个可能的值0，1；且P{X=1}=p, P{X=0}=q，其中0<p<1, q=1−p；则称X服从0−1分布；X的分布律为：
X | 0 | 1 |
P | q | p |
在n重伯努利试验中，每轮试验只观察A是否发生，定义随机变量X：
当发生当不发生X={0,当A发生1,当A不发生
大白话：任何只有两种结果是试验，或者说我们研究的结果只有两种的试验；比如：掷硬币，研究结果的正反面；掷骰子，但只研究结果的奇数还是偶数等。
定义5：若随机变量X的可能值为0，1，...，n；n为正整数，而X的分布律为：pk=P{X=k}=Cnkpkqn−k, k=0,1,...,n；其中，0<p<1, q=1−p，则称X服从参数为n,p的二项分布，<u>记作：X∼B(n,p)</u>。
显然，当n=1时，X服从0−1分布，即X∼B(1,p)；【满足0−1分布每次试验都只可能有0、1两个结果，p并不一定非要是1/2】；即0−1分布是二项分布的一种特例。
但是满足二项分布的每次试验结果不止2个。这是本质区别！！
在n重伯努利试验中，令X代表A的发生次数，则P{X=k}=Pn(k)=Cnkpkqn−k, k=0,1,2,...,n；即X服从参数为n,p的二项分布。
这里特别特别要注意："随机变量X的可能值为0，1，...，n；n为正整数"中X的取值个数从0开始计算一共有n+1个；注意这里不要犯迷糊，n代表的是"最大可能取值个数-1"！！
二项分布名称的由来：（补充下数学知识！！）
二项式(p+q)n的展开式中：
(p+q)n=Cn0q0pn+Cn1q1pn−1+Cn2q2pn−2+...+Cnnqnp0=∑k=0nCnkqkpn−k
由于p+q=q+p；因此上述的二项式展开式等价于：(而且：Cnk=Cnn−k的)
(p+q)n=(q+p)n=Cn0p0qn+Cn1p1qn−1+Cn2p2qn−2+...+Cnnpnq0=∑k=0nCnkpkqn−k
其中的第k+1项（Cn0p0qn是第1项）恰好是Cnkpkqn−k，这与P{X=k}正好相同，因此称为符合二项分布。
因为P{X=k}=Cnkpkqn−k, k=0,1,...,n的所有取值的概率之和为1，即∑k=0npk=∑k=0nP{X=k}=∑k=0nCnkpkqn−k=(p+q)n=1，这满足分布律的基本性质。
大白话：由以上描述可见，任何有确定个数结果的试验，都可以视为满足二项分布。这就包含的范围非常广泛了！！
无限个可能结果的试验，我们先不考虑！！
对于任意的正整数n，(a+b)n=∑k=0nCnkanbn−k，其中Cnk称为二项式系数；Cnk=n!k!(n−k)!。
★★例5：某特效药临床有效率为0.95，今10人服用，问至少有8人被治愈的概率？
解：设X为"10人中治愈的人数"，由题目知X∼B(10,0.95) ## X可能的值有10个，每次独立试验的有效率0.95
这里再次特别提醒，不要嫌我啰嗦；这个n=10是指X可能取值为"有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10个人被治愈"的11个可能值中的最后一个值，因为从0开始计数，千万不要把n理解为11了！！！
P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}=C108(0.95)8(0.05)2+C109(0.95)9(0.05)1+C1010(0.95)10(0.05)0=0.9885
★★例6：设X∼B(2,p), Y∼B(3,p)；设p{X≥1}=59，求P{Y≥1}。
解：由P{X≥1}=59知X可能的取值有"0，1，2"三种可能，因此，P{X=0}=1−P{X≥1}=49；
∴ P{X=0}=C20p0(1−p)2=49； 又∵C20=1; p0=1 ；
∴ (1−p)2=49；
∴ p=13
由Y∼B(3,p)可知Y可能的取值有"0，1，2，3"四种可能，因此，P{Y≥1}=1−P{Y=0}=1−C30p0(1−p)3=1−827=1927。
由此可见，二项分布的计算很繁琐，尤其是出现例如：n=1000, p=0.05时；C100010(0.05)10(0.95)990这类的计算，因此，需要寻求近似计算的方法；下面给给出一个n很大，p很小的近似计算公式，这就是著名的二项分布的泊松逼近。
泊松(Possion)定理：设λ>0是常数，n为任意正整数，在n重伯努利试验中，假设事件A在一次试验中发生的概率是pn，当n→+∞时，有npn→λ，则对于任意取定的非负整数k，有：limn→+∞Cnkpnk(1−pk)n−k=λkk!e−λ。
这里只给出结论，不给出证明过程；有兴趣的可以查阅相关资料。
由泊松定理知，当n很大，p很小时由近似公式：
其中，Cnkpkqn−k≈λkk!e−λ, 其中，λ=np,q=1−p。
在实际中，当n≥20, p≤0.05时使用该近似公式的效果更佳。
λkk!e−λ的值可以通过泊松表查询；泊松表给出了已知λ和k值对应的∑k+∞λkk!e−λ值查询。 ## 特别注意：表里的值是从k开始到+∞的累加和哦，下线不一定是0，但上限一定是+∞。
例7：一个工厂的产品废品率为0.005，任取1000件，计算：
(1) 至少有2件废品的概率
(2) 不超过5件废品的概率
解：设X表示"取出1000件中包含的废品总数"，则X∼B(1000,0.005)；利用近似公式：λ=np=5；
(1) P{X≥2}=1−P{X=0}−P{X=1}=1−C10000(0.005)0(0.995)1000−C10001(0.005)1(0.995)999
≈1−λ00!e−λ−λ11!e−λ=1−500!e−5−511!e−5=0.9596
(2) P{X≤5}=∑k=05P{X=k}=∑k=05C1000k(0.005)k(0.995)1000−k
≈∑k=05λkk!e−λ=1−∑k=6∞λkk!e−λ ## 这里有个转换关系需要特别注意。转换后才可以查泊松表，按照λ=5,k=6查询！！
=0.6160
1.4 泊松分布
定义6：随机变量X的可能取值"0，1，2，...，n，..."；而X的分布律为：
pk=P{X=k}=λkk!e−λ, k=0,1,2,...
其中，λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布，简记为：X∼P(λ)。
大白话，与二项分布相比，S的取值变成的无限个（当然仍旧是离散型的）；因此n→∞；导致符合泊松定理的近似计算公式，从而产生常数λ=np；使得概率仅与和λ和k有关。
由∑k=0∞pk=∑k=0∞λkk!e−λ=e−λ∑k=0∞λkk!=e−λeλ=1可知{pk}满足分布律的基本性质。
泊松分布是二项分布的极限分布(n→∞的情况下)，非常重要！！
例8：设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求：
(1) P{X=10}
(2) P{X≤10}
解：(1) 查询泊松表，找列行λ=5列, X=10行对应的值；和列行λ=5列, X=11行对应的值：
P{X=10}=P{X≥10}−P{X≥11}=∑k=10∞λkk!e−λ−∑k=11∞λkk!e−λ≈0.018133
(2) P{X≤10}=1−P{X≥11}=1−∑k=11∞λkk!e−λ≈0.986305
例9：设X服从泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}；求P{X=4}。
解：设参数为λ，则：
P{X=1}=λ11!e−λ=λe−λ
P{X=2}=λ22!e−λ=λ22e−λ
由题目知：P{X=1}=P{X=2} 得 λ=2
∴ P{X=4}=λ44!e−λ=244!e−2=23e−2
2 随机变量的分布函数
2.1 分布函数的概念
对于非离散型得随机变量就无法用分布律来描述它了。
首先，我们不能将其所有可能的取值一一地列举出来，如连续型随机变量的取值可充满数轴的一个区间(a,b)，甚至是n个区间，也可以是无穷区间；其次，对于连续型随机变量X，任取一指定实数值x的概率是0，即P{X=x}=0。
我解释下，因为连续型随机变量X的取值在某个或很多个区间内，那取值的个数就是无限个，在无限个可能中x仅仅是其中一个，因此，仅仅这一个取值对应的概率就是0。
于是，如何刻画一般的随机变量的统计规律就成了我们的首要问题。
在实际应用中，如测量某物理量的误差ξ，测量灯泡寿命τ等这样的随机变量，我们并不会对误差或寿命的某一特定值的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某个数的概率之类的。
对于随机变量X，我们关心诸如事件{X≤x}, {X>x}, {x1<X≤x2}等的概率，但是由于x1≤x2，且{X≤x1}⊂{X≤x2}；所以：{x1<X≤x2}={X≤x2}−{X≤x1}。
又因{X>x}的对立事件为{X≤x}，所以：P{X>x}=1−P{X≤x}。
因此，{X≤x}的概率P{X≤x}成了关键的角色，我们记F(x)=P{X≤x}，任意给定的x∈(−∞,+∞)，对应的F(x)是一个概率。P{X≤x}∈[0,1]，说明F(x)是定义在(−∞,+∞)上的普通实值函数，从而引出随机变量分布函数的定义。
解释下，上面任何不等式中和≤和<、和≥和>是分别等价的；因为=对应值的概率是0，所以有没有=并不影响计算结果。
定义7：设X为随机变量，称函数F(x)=P{X≤x}, x∈(−∞,+∞)为X的分布函数。
注意：随机变量的分布函数定义适用于任意随机变量，包括离散型随机变量；因此，离散型随机变量既有分布律又有分布函数。
当X为离散型随机变量时，设X的分布律为：pk=P{X=k}, k=0,1,2,...。
由于{X≤x}=∪xk≤x{X=xk}，由概率性质知：F(x)=P{X≤x}=∑xk≤x{X=xk}=∑xk≤xpk即：F(x)=∑xk≤xpk。
这是在微观上将连续型的取值看作时更小颗粒度的离散装的取值，从而得出的结论。底层逻辑是：为什么连续？因为颗粒度足够小。
例1：离散型随机变量X的分布律为：
X | -1 | 0 | 1 | 2 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.4 |
求X的分布函数。
解：当x<−1时F(x)=P{X≤x}=0
当−1≤x<0时F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}=0.2
当0≤x<1时F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3
当1≤x<2时F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6
当x≥2时F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1
特别注意，看清F(x)作为分布函数的定义；无论何时它都代表X≤x的概率，只不过x是由定义域的变量而已。
还需要注意，对于离散型随机变量的分布函数要特别关注取值边界，特别关注=敌营的取值是否被包含。
因此，X的分布函数为：
F(x)={0,x<10.2,−1≤x<00.3,0≤x<10.6,1≤x<21,x≥2
其图像为：
2.2 分布函数的性质
① 0≤F(x)≤1
② F(x)不是减函数，即对于任意x1<x2都有F(x1)≤F(x2)；
③ F(−∞)=0, F(+∞)=1即limx→−∞F(x)=0, limx→−∞F(x)=1；
④ F(x)右连续，即limΔx→0+F(x+Δx)=F(x)。
例2：设随机变量X的分布函数为：
F(x)={a+be−λx,x>00,x≤0
其中，λ>0为常数，求常数a和b的值。
解：由题意有：F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞(a+be−λx)=a
由分布函数性质F(+∞)=1得a=1
由F(x)的右连接性得：F(0+0)=limΔx→0+F(x)=limΔx→0(a+be−λ0)=a+b=0 # 从x=0左侧不断逼近0出的极限值与x=0处的值相同(不中断)！
所以：b=−1
因此：a=1, b=−1。
补充下数学知识：自然常数，符号e，为数学中一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.718281828459045。它是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名。
e作为数学常数，它的其中一个定义是：e=limx→∞(1+1x)x。
同时：e=∑n=0∞1n!=10!+11!+12!+13!+...。 注意：0!=1, 1!=1。
在已知X的分布函数F(x)情况下，我们可知以下重要事件的概率：
① P{X≤b}=F(b)
② P{a<X≤b}=F(b)−F(a)
③ P{X>b}=1−P{X≤b}=1−F(b)
例3：设随机变量X的分布函数为：
F(x)={0,x<0x3,0≤x<1x2,1≤x<21,x≥2
求：(1) P{12<X≤32} (2) P{X>12} (3) P{X>32}
解：(1) P{12<x≤32}=F(32)−F(12)=34−16=712
(2) P{X>12}=1−F(12)=1−16=56
(3) P{X>32}=1−F(32)=1−34=14
3 连续型随机变量及其概率密度
3.1 连续型随机变量及其概率密度
前面已经多次提到连续型随机变量，下面给出定义：
定义8：对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负数f(x)使得对于任意实数x有：F(x)=∫−∞xf(t)dt；则称X为连续型随机变量，并称f(x)是X的概率密度函数，简称概率密度。
补充高等数学知识：F(x)=∫−∞xf(t)dt的计算方法：
1.找到f(t)对应的原函数g(t)，即的导函数g(t)的导函数g′(t)=f(t)；
2.根据积分∫−∞x给出的积分上限x和积分下限−∞带入g(t)；并计算g(x)−g(−∞)；
3.计算结果即为F(x)。
上述积分等式，我们通过高等数学的知识，当f(x)可积时，连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数，进一步，对任意的实数x，Δx>0有：0≤P{X=x}≤P{x−Δx<X≤x}=F(x)−F(x−Δx)
由于F(x)为连续函数，令Δ→0，则P{X=x}=0；即连续型随机变量得某一指定点取值的概率为0.
有定义8和分布函数的性质可得下列概率密度的性质：
(1) f(x)≥0
(2) ∫−∞+∞f(x)dx=1
且满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。
(3) P{a<X≤b}=F(b)−F(a)=∫abf(x)dx
(4) 设x是f(x)的连续点，则F′(x)存在，且：F′(x)=f(x) ★★★★★
根据积分的几何意义，性质(2)意为介于曲线y=f(x)与x轴之间的面积为1；
由性质(3)知X落在区间(a,b]的概率P{a<x<b}就是由曲线y=f(x), x=a, x=b围成的曲边梯形的面积，如图阴影部分所示：
由性质(4)，在f(x)的连续点x处有：
f(x)=limΔx→0+F(x+Δx)−F(x)Δx=limΔx→0+P{x<X≤x+Δx}Δx
即f(x)为X落在区间(x,x+Δx]的概率与区间长度的比值。
从这里我们可以看到概率密度的定义与物理学中线密度的定义相似，这就是为什么称f(x)为概率密度的原因。
★★★★★例1：设随机变量X的概率密度为：
其他f(x)={ax,0≤x≤10,其他
求：(1) 常数a； (2) 分布函数F(x)； (3) P{|X|≤12}。
解：(1)由概率密度的性质∫−∞+∞f(x)dx=1，得：
∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞00dx+∫01axdx+∫1+∞0dx=1
的一个原函数为∵ ax的一个原函数为a2x2
即∫01axdx=a2x2|01=a212−a202=a2=1
∴ a=2
(2) 当x<0时，F(x)=∫−∞xf(t)dt=0, (t∈x)
当0≤x≤1时，F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞00dt+∫0xatdt=∫0x2tdt=x2|0x=x2
当x>1时，F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞00dt+∫01atdt+∫1x0dt=∫012tdt=t2|01=1
这里教材上的积分下限为+∞是错误的！！！
即X的分布函数为：
F(x)={0,x<0x2,0≤x≤11,x>1
(3) P{|X|≤12}=P{−12≤X≤12}=F(12)−F(−12)=14−0=14
或者P{|X|≤12}=∫−1212f(x)dx=∫−120f(x)dx+∫012f(x)dx=∫−1200dx+∫012axdx=∫0122xdx=x2|012=14
例2：设随机变量X的概率密度为：
其他f(x)={x,0≤x<12−x,1≤x<20,其他
求X的分布函数F(x)。
解：当x<0时，即其他F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞00dt=0, t∈(x<0,即其他)
当0≤x<1时，F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞00dt+∫0xtdt=∫0xtdt=t22|0x=x22
当1≤x<2时，F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞00dt+∫01tdt+∫1x(2−t)dt=t22|01+(2t−12t2)|1x=−12x2+2x+1
当x≥2时，F(x)=∫−∞xf(x)dx=∫−∞00dt+∫01tdt+∫12(2−t)dt+∫2x0dt=0+t22|01+(2t−12t2)|12+0=0+12+12+0=1
即X的分布函数为：
F(x)={0,x<0x22,0≤x<1−12x2+2x+1,1≤x<21,x≥2
再啰嗦一句：无论哪个区间F(x)=∫−∞xf(t)dt；这是定义！！！！
例3：设连续随机变量X的分布函数为：
F(x)={0,x≤0x2,0<x<11,x≥1
求：(1) X的概率密度f(x)； (2) X落入(0.3,0.7)的概率密度。
解：(1) 根据分布函数与概率密度函数的关系知：
其他f(x)=F′(x)={2x,0<x<10,其他
(2) 有两种解法：
P{0.3<X<0.7}=F(0.7)−F(0.3)=0.72−0.32=0.4
或者：
P{0.3<X<0.7}=∫0.30.7f(x)dx=∫0.30.72xdx=x2|0.30.7=0.4
★★★★★例4：设某型号电子元件的寿命X(单位：h)具有以下概率密度：
其他f(x)={1000x2,x≥10000,其他
现有以下批次的此种元件（元件工作相互独立），问：
(1) 任取一只元件，求其寿命大于1500h的概率？
(2) 任取4只元件，其中恰好有2只元件的寿命大于1500h的概率？
(3) 任取4只元件，其中至少有1只元件的寿命大于1500h的概率？
解：(1) P{X>1500}=∫1500+∞1000x2dx=(−1000x)|1500+∞=23
(2) 各元件工作独立，可以看作是进行4重伯努利试验，令Y表示"4个元件中寿命大于1500h的元件个数"，则Y∼B(4,23)；所有概率P{Y=2}=C42(23)2(13)2=827
(3) 所求概率为P{Y≥1}=1−P{Y=0}=1−C40(23)0(13)4=8081
3.2 均匀分布与指数分布
最常用的连续型概率分布有：均匀分布、指数分布和正态分布。
定义9：若随机变量X的概率密度为：
其他f(x)={1b−a,a≤x≤b0,其他
则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，简记：X∼U(a,b)。
容易求得分布函数：
F(x)={0,x<ax−ab−a,a≤x≤b1,x>b
我这里还是补充下证明过程：
当x<a时；F(x)=∫−∞xf(t)dt=0|−∞x=0 ；
当a≤x≤b时；F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞a0dt+∫ax(1b−a)dt=0|−∞a+1b−at|ax=xb−a−ab−a=x−1b−a
当x>b时；F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞a0dt+∫ab(1b−a)dt+∫bx0dt=(1b−at)|ab=1
均匀分布的概率密度f(x)与分布函数F(x)的图像如下：
均匀分布的概率计算中有一个概率公式： ★★★★★
设X∼U(a,b), a≤c<d≤b即[c,d]⊂[a,b]，则：P{c≤X≤d}=d−cb−a。
使用这个公式计算均匀分布概率很方便，例如X∼U(0,3)则P{1≤X≤2}=2−13−0=13
均匀分布可能是实际问题中最常见的了。
★★★★★
例5：公共汽车站每个5分钟有一辆车通过，乘客再5分钟内任一时刻到达车站是等可能的，求乘客候车时间在1-3分钟内的概率。
解：设X表示乘客的候车时间；则X∼U(0,5)，其概率密度为：
其他f(x)={15,0≤x≤50,其他
所求概率为：P{1≤x≤3}=3−15−0=23
定义10：若随机变量X的概率密度为：
f(x)={λe−λx,x>00,x≤0
其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布；简记：X∼E(λ)；其分布函数为：
F(x)={1−e−λx,x>00,x≤0
f(x)与F(x)的图像为：
指数分布常用作各种"寿命"相关的分布，有广泛的应用。
例6：设X服从λ=1的指数分布，求P{X>1}。
解：X的概率密度为为：
f(x)={e−x,x>00,x≤0
方法一：P{X>1}=∫1+∞f(t)dt；因为时，x>0时，fx()=e−x，因此：
P{X>1}=∫1+∞f(t)dt=∫1+∞e−tdt=−e−t|1+∞=e−1。
方法二：P{X>1}=1−P{X≤1}；根据定义7：分布函数的定义得
P{X>1}=1−P{X≤1}=1−F(1)=1−[∫−∞0f(t)dt+∫01f(t)dt]=1−[0+(−e−t)|01]=1−(−e−1−(−e−0))=e−1
特别地啰嗦下：
方法一直接通过积分计算 概率密度</u>与区间长度乘积的积分，积分上下限就根据X的取值范围即可。
方法二，辗转通过 概率函数的方法，再通过概率概率函数的性质来计算，那么积分就必须从−∞积到边界线x=1。为什么是积到边界线而不是继续从边界线x=1继续积到x→+∞呢？因为，继续从边界线x=1继续积到x→+∞呢有概率密度计算概率函数F(x)的计算步骤，而这里已经确定x=1了，因此不用再继续积下去。
==========关于积分上下限的说明==========
3.3 正态分布
定义11：若随机变量X的概率密度为：
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2 , −∞<x<+∞
其中μ, σ2为常数，−∞<μ<+∞, μ>0，则称X服从参数为μ, σ2的正态分布，简记X∼N(μ,σ2)。
f(x)的图形如下：
习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态随机变量；又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线，它有以下性质：
(1) 曲线关于之直线x=μ对称，这表明对于任何h>0，都有。
(2) 当x=μ时，取最大值f(μ)=，在x=μ±σ处曲线有拐点；曲线以x轴为渐近线。
(3) 当σ给定，时；
其图像为：
实际上，两条曲线可沿着x轴平移而得，不改变其形状，可见正态分布曲线的位置完全由μ决定，μ是正态分布的中心。
(4) 当μ给定且σ1<σ2时；
f3(x)=12πσ1e−(x−μ)22σ12 , f4(x)=12πσ2e−(x−μ)22σ22
其图像为：
可见σ越小，图形越尖，σ越大，图形越平缓；正态分布曲线中σ的值刻画了正态随机变量取值的分散程度，σ越小，分散程度越小，σ越大，分散程度越大。
设X∼N(μ, σ2)，则X的分布函数为：F(x)=∫−∞x12πσe−(x−μ)22σ2dt；它的图形为：
特别地，当μ=0,σ=1时，正态分布称为标准正态分布N(0, 1)。为了区别，标准正态分布的密度和分布函数分别记为φ(x), Φ(x)，即：
φ(x)=12πe−x22, −∞<x<+∞
Φ(x)=12π∫−∞xe−t22dt, −∞<x<+∞
其中，φ(x)的图像为：
显然，φ(x)是关于y轴对称的，且在x=0时取最大值12π。
对于标准正态分布函数Φ(x)，它有下列性质：
(1) Φ(−x)=1−Φ(x) ；这根据前面的知识时显而易见的；
(2) Φ(0)=12；Φ(x)的值可以通过查询标准正态分布表获取；
下列公式揭示了一般正态分布函数F(x)与标准正态分布函数Φ(x)的关系：
(1) 设X∼N(μ, σ2)，其分布函数为F(x)，则：F(x)=P{X≤x}=Φ(x−μσ)；证明过程：
因为：F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt；作为代换，我们令u=t−μσ，则∵u′=dudt ∴du=1σdt ∴dt=σdu；
代换后：F(x)=12πσ∫−∞x−μσe−12u2σdu=Φ(x−μσ) # 注意，这里因为使用了代换量，积分上下界也要跟随变化！！
(2) P{a<x≤b}=P{a≤x<b}=P{a≤x≤b}=P{a<x<b}=F(b)−F(a)=Φ(b−μσ)−Φ(a−μσ)
(3) P{x>a}=P{X≥a}=1−P{x≤a}=1−F(a)=1−Φ(a−μσ)
例7：设X∼N(0,1)，证明：对于任意的h>0，有P{|x|≤h}=2Φ(h)−1。
证明：P{|X|≤h}=P{−h≤X≤h}=Φ(h)−Φ(−h)=Φ(h)−[1−Φ(h)]=2Φ(h)−1
例8：设X∼N(0,1)求：
(1) P{X<2.35}
(2) P{X<−3.03}
(3) P{|X|<1.54}
解：(1) P{X<2.35}=Φ(2.35)=0.9906 （直接查表） # 找到行头为2.3，列头为5表格对应的值。
(2) P{X<−3.03}=Φ(−3.03)=1−Φ(3.03)=1−0.9995=0.0005 (查表)
(3) P{|X|<1.54}=P{−1.54<X<1.54}=2Φ(1.54)−1=2×0.9382−1=0.8764
例9：设X∼N(1.5,4)求：
(1) P{X<3.5}
(2) P{1.5<X<3.5}
(3) P{|X|≥3}
解：由题目知μ=1.5, σ=2，记F(x)为X的分布函数：
(1) P{X<3.5}=F(3.5)=Φ(x−μσ)=Φ(3.5−1.52)=Φ(1)=0.8413
(2) P{1.5<X<3.5}=F(3.5)−F(1.5)=F(1)−F(0)=0.8413−0.5=0.3413
(3) P{X≥3}=P{X≤−3}+P{X≥3}=F(−3)+(1−F(3))
=Φ(−3−1.52)+1−Φ(3−1.52)=Φ(−2.25)−Φ(0.75)+1=1−Φ(2.25)+1−varPhi(0.75)=1−0.9878+1−0.7734=0.2388
★★★易错点提醒：F(−x)不一定等于1−F(3)；只有在标准正态分布下Φ(−x)=1−Φ(x)才成立！！！
同时，也可以利用P{|X|≥3}=1−P{|X|<3}=1−P{−3<X<3}来计算！
例10：设X∼N(μ,σ2)求X落在区间[μ−kσ,μ+kσ]的概率，其中k=1,2,...
解：P{μ−kσ≤Xμ+kσ}=F(μ+kσ)−F(μ−kσ)=Φ((μ+kσ)−μσ)−Φ((μ−kσ)−μσ)=Φ(k)−Φ(−k)=2Φ(k)−1 ；则：
k=1; P{μ−σ≤X≤μ+σ}=2Φ(1)−1=0.6826
k=2; P{μ−2σ≤X≤μ+2σ}=2Φ(2)−1=0.9544
k=3; P{μ−3σ≤X≤μ+3σ}=2Φ(3)−1=0.9973
★★★由此可以看出：尽管正态随机变量取值范围为(−∞,+∞)，但他的值落在[μ−3σ,μ+3σ]的概率为0.9973，很接近100%这个性质被称为正态分布的3σ规则。
大家应该都听过六西格玛质量管理模式，实际上也与此有关，大家有兴趣可以算算：6σ：[μ−3σ,μ+3σ]的概率。
定义12：设X∼N(0,1)，若μα满足条件：P{X>μα}=α, 0<α<1；则称点μα为标准正态分布的上侧α分位数，简称α分位数。见图：
常见的上侧分位数：
μ0.1=1.282, μ0.05=1.645, μ0.025=1.960
μ0.01=2.326, μ0.005=2.567
μ0.0001=3.090
4 随机变量函数的概率分布
4.1 离散型随机变量函数的概率分布
有时候我们所关心的随机变量不能直接测量得到，而他确是某个能直接测量的随机变量的函数。（可以某个简单函数的符合函数，大概就是这么个意思）
例如：我们能测量圆的直径X，而关心的却是其面接Y=π(X2)2=π4X2；这里随机变量Y就是随机变量X的函数。
设g(x)是一个给定的连续函数，称Y=g(X)为随机变量X的一个函数，Y也是一个随机变量；当X取值x时，Y取值为Y=g(x)。
接下来我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求函数Y=g(X)的概率分布。
首先，讨论X为离散型随机变量，设其分布律为：
X | x1 | x2 | ... | xk | ... |
P | p1 | p2 | ... | pk | ... |
由于X的取值可能为x1, x2, ..., xk, ...；所以Y的可能取值为g(x1), g(x2), ..., g(xk), ...；可见Y只取有限多个或者可列的无限多个值，故Y也是一个离散型随机变量。
注意：g(x1), g(x2), ..., g(xk), ...之间可能存在相等的情况。
我们关注的是如何求Y的分布律，先看一个例子：
例1：设随机变量X的分布律为：
X | -1 | 0 | 1 | 2 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.4 |
求：（1）Y=X3的分布律； （2）Z=X2的分布律。
解：（1）Y可能的取值有：−1, 0, 1, 8；且由于：
P{Y=−1}=P{X3=−1}=P{X=−1}=0.2
P{Y=0}=P{X3=0}=P{X=0}=0.1
P{Y=1}=P{X3=1}=P{X=1}=0.3
P{Y=8}=P{X3=8}=P{X=2}=0.4
从而，Y的分布律为：
X | -1 | 0 | 1 | 8 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.4 |
（2）Z可能的取值为：，，0，1，4；且由于：
P{Z=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.1
P{Z=1}=P{X2=1}=P{X=−1}+P{X=1}=0.2+0.3=0.5
P{Z=4}=P{X2=2}=P{X=2}=0.4 # X=−2的情况对于X来说概率是0
从而，Z的分布律为：
X | 0 | 1 | 4 |
P | 0.1 | 0.5 | 0.4 |
★★★从此例可以看出，g(x1), g(x2), ..., g(xk),...中的值可能互不相等，也可能有相等的情况，对于g(xk)相等的那些xk所对应的概率应改相加作为g(xk)的概率。
例2：设X∼B(3, 0.4)，令Y=X(3−X)2，求P{Y=1}。
解：有题目知：
P{Y=1}=P{X(3−X)2=1}=P{X=1}+P{X=2}=C31(0.4)1(0.6)2+C32(0.4)2(0.6)1=0.72
4.2 连续型随机变量函数的概率分布
设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，要求Y=g(X)的概率密度fY(y)，我们可以利用如下定理的结论。
定理1：设X为连续型随机变量，其概率密度为fX(x)，设g(x)是一个严格单调可导的函数，其值域为(α, β)且g′(x)≠0；记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的概率密度为：
其他fY(y)={fX(h(y))|h′(y)|, α<y<β0, 其他
特别地，当α=−∞, β=+∞时：
fY(y)=fX(h(y))|h′(y)|, −∞<y<+∞ 。
例3：设连续性随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y=aX+b，其中a, b为常数a≠0，求Y的概率密度。
解：由题目知，设：y=g(x)=ax+b则：
x=h(y)=y−ba, h′(y)=1a
fY(y)=fX(h(y))⋅|h′(y)|=fX(y−ba)⋅|1a|
例4：X∼N(μ,σ2)求：（1）Y=X−μσ的概率密度；（2）Y=aX+b的概率密度。
解：由题目知X的概率密度为：fX(x)=12πσe−(x−μ)22σ2
（1）Y=X−μσ=1aX+(−μa)
x=h(y)=σy+μ, h′(y)=σ
fY(y)=fX(h(y))⋅|h′(y)|=fX(σy+μ)⋅σ=12πσe−(σy+μ−μ)22σ2⋅σ=12πe−y22
即：Y∼N(0, 1)。
（2）由例3中的结论fY(y)=fX(y−ba)⋅|1a|=1|a|⋅12πσe−(y−ba−μ)22σ2=12πσ|a|e−(y−b−aμ)22(σa)2
即：Y∼N(b+aμ,a2σ2)
★★★本示例说明了两个重要的结论：当X∼N(μ,σ2)时Y=X−μσ∼N(0, 1)且随机变量X−μσ称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换Y=aX+b仍旧是正态随机变量，即aX+b∼N(b+aμ, a2σ2)。
例5：设X∼U(−π2, π2)，令Y=tanX，求Y的概率密度fY(y)。
解：由题目知，X服从均匀分布，其概率密度为：
其他fX(x)={1π, −π2≤x≤π20, 其他
令y=g(x)=tanx，其值域为(−∞,+∞)；
其反函数：x=h(y)=arctany；反函数的倒数：h′(y)=11+y2
因此：fY(y)=fX(h(y))⋅|h′(y)|, arctany∈(−π2, π2)
又因：fX(h(y))=1π;又因：|11+y2|=11+y2
∴fY(y)=1π⋅11+y2
这一概率分布也称为柯西(cauthy)分布。
tanx、cotx的图像：
①(sinx)′=cosx；即正弦的导数是余弦.
②(cosx)′=−sinx；即余弦的导数是正弦的相反数.
③(tanx)′=(secx)2；即正切的导数是正割的平方.
④(cotx)′=−(cscx)2；即余切的导数是余割平方的相反数.
⑤(secx)′=secxtanx；即正割的导数是正割和正切的积.
⑥(cscx)′=−cscxcotx；即余割的导数是余割和余切的积的相反数.
⑦(arcsinx)′=1(1−x2)
⑧(arccosx)′=−1(1−x2)
⑨(arctanx)′=1(1+x2)
⑩(arccotx)′=−1(1+x2)
例6：设X∼N(μ,σ2)，求Y=eX的概率分布fY(y)。
解：令y=g(x)=ex；其值域为(0,+∞)
其反函数为：x=h(y)=lny；反函数的倒数为：h′(y)=1y则：
fY(y)={fX(h(y))⋅|h′(y)|, y>00, y≤0={12πσye−(lny−μ)22σ2, y>00, y≤0
此分布为"对数正态分布"。
以上例子中使用公式求解，因此也叫"公式"法；注意：公式要求y=g(x)为单调函数，若不是单调函数则不能使用公式法求解。
例7：设随机变量X的概率密度为：
其他fX(x)={x8, 0<x<40, 其他
求：Y=2X+8的概率密度。
解：设Y的分布函数为FY(y)，则：
FY(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤Y}=P{X≤y−82}=FX(y−82) 其中FX(x)是X的分布函数；故：
其他课本里此处错误其他fY(y)=FY′(y)=[FX(y−82)]′=FX′(y−82)⋅12=fX(y−82)={18⋅(y−82⋅12), 0<y−82<40, 其他={y−832,8<y<16#课本里此处错误0, 其他
注意：这里的FY′(y)=[FX(y−82)]′=FX′(y−82)⋅(y−82)′=FX′(y−82)⋅12是复合函数求导的方法！！
这种解法叫"直接变换法"，它可以适用于非单调性随机变量的情况，但本例中Y=2X+8是单调函数（切线的斜率或者导数不会更改正负号的函数），因此即可以使用前面的"公式法"，也可以使用"直接变换法"。
例8：设X的概率密度为fX(x)，求Y=X2的概率密度fY(y)，特别地，当X∼N(0,1)时，求Y=X2的概率密度。
明显Y=X2不是单调函数了。
解：当y≤0时，Y的分布函数为：FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=0 #这是常识判断的，因为不存在实数的平方是负数的情况。
因此：fY(y)=0
当y>0时，Y的分布函数为：FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=P{−y≤x≤y}=FX(y)−FX(−y)
其中，FX(x)时X的分布函数，则：
fY(y)=FY′(y)=(FX(y)−FX(−y))′=12y⋅FX′(y)+12y⋅FX′(−y)=12y(fX(y)+fX(−y)) # 注意F和f的变化。
根据题目知：X∼N(0,1)，则：fX(x)=12πe−x22 可得：
fY(y)=12y(12πe−y2+12πe−y2)=12πye−y2
综上：
其他fY(y)={12πye−y2, y>00, 其他
X∼N(0,1)则Y=X2为χ2分布，其自由度为1，记作：Y∼χ2(1)。将在后面的章节详细讲解。
吐槽：51cto对markdow尤其是涉及LaTex的支持真的很烂，粘贴进来大量公式语法变形错误，后台反应也没有回应。
目前先放在这没后续有时间逐步修改吧，有需要的朋友可以找找我CSDN和博客园的Post，本文会有大量的公式错误，(lll￢ω￢)！！！
