二叉树（四）——二叉排序树

原创

不死鸟jgc 2022-09-27 17:39:44 博主文章分类：数据结构与算法 ©著作权

文章标签 二叉排序树 ASL 逐点插入法查找平衡二叉树 文章分类 数据结构与算法人工智能

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定义

二叉排序树或者非空二叉树，或者为具有以下性质的二叉树:
1、若根结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值都小于根结点的值；
2、若根结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值都大于或者等于根结点的值；
每一棵子树分别也是二叉排序树。

上述定义为递归定义

如下图：

二叉树（四）——二叉排序树_ASL

该二叉树的中序序列如下：

10, 30, 35, 38, 40, 50, 50, 58, 60, 64, 70, 73, 100

我们发现二叉排序树的中序序列从小到大递增；

二叉排序树的建立

逐点插入法

设K=( k1，k2，k3， …， kn)为具有n 个数据元素的序列。从序列的第一个元素开始，依次取序列中的元素，每取一个元素ki，按照下述原则将ki 插入到二叉树中：
1、若二叉树为空，则ki 作为该二叉树的根结点；
2、若二叉树非空，则将ki 与该二叉树的根结点的值进行比较；若ki 小于根结点的值，则将ki插入到根结点的左子树中：否则，将ki 插入到根结点的右子树中。
3、将ki 插入到左子树或者右子树中仍然遵循上述原则。

建立二叉排序树的(主)算法

建立二叉排序树的(主)算法的C语言实现如下：

BTREE SORTTREE(datatype K[ ], int n)
{
    BTREE T=NULL;
    int i;
    for(i=0; i<n; i++)
        INSERTBST(T, K[i]);     //调用插入算法
    return T;
}

主算法很简单，循环调用每个节点的插入算法。其中，插入一个节点的非递归算法如下：

#define
void INSERTBST(BTREE &T, typedata item)
{
    BTREE p, q;
    p=(BTREE)malloc(len);           //建立一个新结点
    p->data=item;
    p->lchild=NULL;
    p->rchild=NULL;
    if(T==NULL)
        T=p;
    else{
        q=T;                         //q移动，进行查找
        while(1)
            if(item<q->data)
                if(q->lchild==NULL){
                     q->lchild=p;               //插入结点
                     break;
               }else
                     q=q->lchild;
            else
               if(q->rchild==NULL){
                     q->rchild=p;            //插入结点
                     break;
               }else
                     q=q->rchild;
     }
}

二叉排序树的删除

二叉排序树的删除原则如下：
1、被删除结点为叶结点，则直接删除；
2、被删除结点无左子树，则用右子树的根结点取代被删除结点；
3、被删除结点无右子树，则用左子树的根结点取代被删除结点；
4、被删除结点的左、右子树都存在，则用被删除结点的右子树中值最小的结点（或被删除结点的左子树中值最大的结点)取代被删除结点。

二叉排序树的查找

二叉排序树的查找过程

二叉排序树的查找过程如下：
若二叉排序树为空,则查找失败,结束。
若二叉排序树非空，则将被查找元素与二叉排序树的根结点的值进行比较,
1、若等于根结点的值，则查找成功，返回被查到元素所在链结点的地址，查找结束；
2、若小于根结点的值，则到根结点的左子树中重复上述查找过程；
3、若大于根结点的值,则到根结点的右子树中重复上述查找过程；
直到查找成功或者失败。

该过程是一个递归过程；由于查找过程和插入过程很相像，所以二叉排序树也叫二叉查找树。

同时做如下约定：
1、若查找成功，给出被查找元素所在结点的地址；
2、若查找失败，给出信息NULL；
3、二叉树采用二叉链表存储结构。

查找算法

二叉排序树的查找算法如上所述，该算法可以使用递归实现，也可以不使用。

递归实现查找算法

BTREE SORTSEARCH2( BTREE T, datatype key )
{
    if(T!=NULL){
        if(T->data==key)
             return T;        // 查找成功 
        if(T->data<key)       // 查找T的右子树 
             return SORTSEARCH2(T->rchild, key);
        else                    // 查找T的左子树
             return SORTSEARCH2(T->lchild, key);
    } else
         return NULL;        // 查找失败
}

递归算法易于理解，但是效率较低。

非递归实现查找算法

BTREE SORTSEARCH1(BTREE T,datatype key)
{
    BTREE p=T;
    while(p!=NULL){
        if(p->data==key)
            return p;    //查找成功 
        if(p->data<key)
            p=p->rchild;     //将p移到右子树的根结点
        else
            p=p->lchild;      //将p移到左子树的根结点
    }
    return NULL;      //查找失败
}