多元回归中x1是随机变量吗 多元回归模型yi=β1+β2

第十二章 多元线性回归

---

12.1 多元线性回归模型

• 多元回归：一个因变量与两个及两个以上自变量的回归

12.1.1 多元回归模型与回归方程

• 多元回归模型：描述因变量 y 如何依赖于自变量 $x_1 ， x_2 ，…， x_k$ 和误差项 $ε$ 的方程，其一般形式可表示为：
  $y = β_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + ... + β_kx_k + ε \\ （其中 β_0+β_1β_2+...+β_k 是模型的参数；ε为误差项）$

• 误差项 $ε$ 有三个基本假定

• 正态性：误差项 $ε$ 是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即 $ε \sim N(0,\sigma^2)$
• 方差齐性：对于自变量 $x_1,x_2,…,x_k$ 的所有值， $ε$ 的方差 $\sigma^2$
• 独立性：对于自变量 $x_1, x_2,…,x_k$ 的一组特定值，它所对应的 $ε$

• 多元回归方程：描述因变量y的期望 $E(y)$ 与自变量$x_1,x_2,…,x_k$ 关系的方程，根据回归模型的假定有：
  $E(y) = β_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + ... + β_kx_k$

• 特殊的对于有两个自变量的多元回归方程，其形式为：
  $E(y) = β_0 + β_1x_1 + β_2x_2$

12.1.2 估计的多元回归方程

• 估计的多元回归方程：用样本统计量 $\hatβ_1,\hatβ_2,....,\hat β_k$ 估计回归方程中的参数 $β_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + ... + β_kx_k$ 时得到的方程
  $y = \hatβ_0 + \hatβ_1x_1 + \hatβ_2x_2 + ... + \hatβ_kx_k\\ （其中 \hatβ_1,\hatβ_2,....,\hat β_k称为偏回归系数；\\ \hat β_i表示当x_1...x_{i-1}和x_{i+1}...x_k不变时，x_i每变动一个单位因变量y的平均变动量）$

12.1.3 参数的最小二乘估计

这都要计算机算了考试谁会出这个来计算啊，所以pass

---

12.2 回归方程的拟合优度

12.2.1 多重判定系数

$SST（总平方和） = SSE（残差平方和） + SSR（回归平方和）$

• 多重判定系数：是回归平方和占总平方和的比例，是度量多元回归方程拟合程度的一个统计量，反映了因变量y取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例。
  $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
• 调整的多重判定系数：为避免增加自变量而高估$R^2$，用样本量n和自变量的个数 $k$ 去修正 $R^2$ 得到，其数值永远小于$R^2$ ，意义和 $R^2$ 类似
  $R_a^2 = 1 - (1 - R^2)(\frac{n-1}{n-k-1})$

12.2.2 估计标准误差

• 估计标准误差（$s_e$）：是误差项$ε$的方差$\sigma$的一个估计值，它在衡量多元回归方程的拟合优度方面起着重要作用：

---

12.3 显著性检验

12.3.1 线性关系检验

线性关系检验是检验因变量y与所有k个自变量之间的线性关系是否显著,也被称为总体的显著性检验。

• 1）提出假设：
  $H_0:β_1 = β_2 = ... = β_k = 0 ；\\ \qquad\qquad H_1:β_1,β_2 ,...,β_k \;至少有一个不等于0；$
• 2）计算检验的统计量$F$：
  $F = \frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)} = \frac{MSR}{MSE} = \sim F(k,n-k-1)$
• 3）做出统计决策：

• 给定显著性水平$\alpha$
• 在$F$分布表中寻找$F_\alpha(k,n-k-1)$
• 比较$F$和$F_\alpha$ （或者比较$P$值和$\alpha$）

• $F > F_\alpha（或P<\alpha）$：拒绝原假设$H_0$
• $F < F_\alpha（或P>\alpha）$：不拒绝原假设$H_0$

12.3.2 回归系数检验与推断

• 1）提出假设：
  $对任意参数\beta_i(i = 1,2,...,k)：\\ H_0:β_i = 0 ；\\ H_1:β_i \ne 0；$
• 2）计算检验的统计量$t$：
• 3）做出统计决策：

• 给定显著性水平$\alpha$
• 在$t$分布表中寻找$t_{\alpha/2}(n-k-1)$
• 比较$t$和$t_\alpha$ （或者比较$P$值和$\alpha$）

• $|t| > t_{\alpha/2}$：拒绝原假设$H_0$
• $|t| < t_{\alpha/2}$：不拒绝原假设$H_0$

---

12.4 多重共线性

12.4.1 多重共线性及其产生的问题

• 多重共线性：回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关时，则称回归模型中存在多重共线性。

• 多重共线性带来的问题有 ：

• 可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分析引入歧途
• 可能对参数估计值的正负号产生影响，特别是各回归系数的正负号有可能同预期的正负号相反

12.4.2 多重共线性的判别

• 如果出现下列情况，暗示存在多重共线性：

• 模型中各对自变量之间显著相关
• 当模型的线性关系检验($F$检验)显著时，几乎所有回归系数的t检验却不显著
• 回归系数的正负号与预期的相反

12.4.3 多重共线性问题的处理

• 1）将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关
• 2）如果要在模型中保留所有的自变量，则应：

• 避免根据 t 统计量对单个参数进行检验
• 对因变量值的推断(估计或预测)的限定在自变量样本值的范围内

---

12.5 利用回归方程进行预测

• 太复杂了书本都不讲了哈哈哈

---

12.6 变量选择与逐步回归

12.6.1 变量选择过程

• 变量选择过程就是在在建立回归模型时，对自变量进行筛选的过程。
• 选择自变量的原则是对统计量进行显著性检验，检验的依据是：

• 将一个或一个以上的自变量引入到回归模型中时，是否使得残差平方和(SSE)有显著地减少。如果增加一个自变量使SSE的减少是显著的，则说明有必要将这个自变量引入回归模型，否则，就没有必要将这个自变量引入回归模型
• 确定引入自变量是否使SSE有显著减少的方法，就是使用F统计量的值作为一个标准，以此来确定是在模型中增加一个自变量，还是从模型中剔除一个自变量

12.6.2 向前选择

1. 从模型中没有自变量开始。
2. 对k个自变量分别拟合对因变量的一元线性回归模型，共有k个，然后找出F统计量的值最高的模型及其自变量(P值最小的)，并将其首先引入模型 。
3. 分别拟合引入模型外的k-1个自变量的二元线性回归模型 。
4. 如此反复进行，直至模型外的自变量均无统计显著性为止。

12.6.3 向后剔除

1. 先对因变量拟合包括所有k个自变量的回归模型。然后考察p(p<k)个去掉一个自变量的模型(这些模型中在每一个都有k-1个自变量)，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除。
2. 考察p-1个再去掉一个自变量的模型(这些模型中每一个都有k-2个自变量)，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除。
3. 如此反复进行，一直将自变量从模型中剔除，直至剔除一个自变量不会使SSE显著减小为止。

12.6.4 逐步回归

1. 将向前选择和向后剔除两种方法结合起来筛选自变量
2. 在增加了一个自变量后，它会对模型中所有的变量进行考察，看看有没有可能剔除某个自变量。如果在增加了一个自变量后，前面增加的某个自变量对模型的贡献变得不显著，这个变量就会被剔除
3. 按照方法不停地增加变量并考虑剔除以前增加的变量的可能性，直至增加变量已经不能导致SSE显著减少
4. 在前面步骤中增加的自变量在后面的步骤中有可能被剔除，而在前面步骤中剔除的自变量在后面的步骤中也可能重新进入到模型中