令人头疼的背包问题 - 完全背包问题

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godweiyang 2022-07-27 09:00:53

文章标签 动态规划微软 3d 项目管理 nokia 文章分类 运维

先回顾一下先前讨论过的0-1背包问题，每个物品最多只能选择一次或者选择不选择。

令人头疼的背包九讲（1）0/1背包问题

而在完全背包问题中，每件物品可以被选择无限次。

完全背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。每种物品都有无限件可用。 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输入格式
第一行两个整数，N,M空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有N行,每行两个整数vi,wi,空格隔开,分别表示第i件物品的体积和价格

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,M<1000

0<vi,wi<1000

解题

这道题目我想用二维数组的方式去解决，然后再拓展到一维数组上。

首先我们先建立一个f数组，开辟为f[N+1][M+1].特别地，f[i][j]代表第i个物品下容量为j的最大价值。

那么我们思考一下从当前物品只能选0/1次到当前物品可以选无数次的差别

物品只能选0/1次

当物品只能0/1时
1.当j>=当前物品的体积W时，我可以选也可以不选,取最优结果

f[i][j]=Math.max(f[i-1][j-W]+V,f[i][j])

2.当j<当前物品的体积W时，我只能不选，因为我装不下

f[i][j]=f[i-1][j]

物品能选无限次

1.当j>=当前物品的体积W时，我可以选也可以不选,取最优结果

此时要注意的是我的状态方程变换成了这个

f[i][j]=Math.max(f[i][j-W]+V,f[i][j])  
// 0/1问题下是f[i][j]=Math.max(f[i-1][j-W]+V,f[i-1][j])

这也是迷惑大家很久的一个点，物品还是那个物品，怎么次数还改变了它的状态方程？

我们从逻辑角度来推理一下

0/1问题中f[i][j]代表当前我选到第i个物品j容量下能够取到的最大价值，当前选取物品是由上一个物品的最大价值转移过来的，当我要放下这个物品时，肯定是要把上一个物品的状态作为参考系进行计算。

完全背包问题中，f[i][j]代表的也是我选到第i个物品j容量下能够取到的最大价值，但是由于我可以选择很多件物品，所以将上一个物品的最大值作为参考系，那就回到了0/1问题。

怎么办？

把参考系变成当前物品即可，因为当我们的参考系是当前物品的时候，就可以选取无限个物品了

f[i][j]=Math.max(f[i][j-W]+V,f[i-1][j])

f[i][j-W]+v 代表我在第i个物品，且容量为j-W的基础上，再次选择了这个物品

f[i-1][j] 代表我不选择这个物品

2.当j<当前物品的体积W时，我只能不选，因为我装不下

f[i][j]=f[i-1][j]

如果是使用一维数组怎么解决？

在一维数组的基础上，相当于把物品的状态给压缩了，f[j]代表j容量下能够取到的最大价值。

在0/1背包问题中，这个状态方程由

for(int i=1;i<=N;i++){
    for(int j=1;j<=M;j++){
        if(j>=W)  
            f[i][j]=Math.max(f[i-1][j-W]+V,f[i-1][j]);
        else
            f[i][j]=f[i-1][j];
    }
}

转换成了

for(int i=1;i<=N;i++){
    for(int j=M;j>=1;j--){//容量从大到小遍历，0/1问题
        if(j>=W)  
            f[j] = Math.max(f[j-W]+V,f[j]);
        else
            f[j] = f[j];
    }
}

在完全背包问题中，这个状态方程由

for(int i=1;i<=N;i++){
    for(int j=1;j<=M;j++){
        if(j>=W)  
            f[i][j]=Math.max(f[i][j-W]+V,f[i-1][j]);
        else
            f[i][j]=f[i-1][j];
    }
}

变成了

for(int i=1;i<=N;i++){
    for(int j=1;j<=M;j++){//容量从小到大遍历，完全背包问题
        if(j>=W)  
            f[j] = Math.max(f[j-W]+V,f[j]);
        else
            f[j] = f[j];
    }
}