1.对称矩阵、实对称矩阵和对角阵

1.1 对称矩阵

指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵，即可知矩阵A的转置等于其本身（$A^T=A$）。

对任意矩阵A均有，矩阵$A^TA$为对称矩阵，且对任何方阵X，$X+X^T$是对称矩阵。

1.2实对称矩阵

实对称矩阵式对称对阵的子集，如果有n阶对称矩阵A，其矩阵的元素均为实数，则称A为实对称矩阵。

对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的，实对称矩阵是对称矩阵的特例，所以也不例外。

1.3对角阵

只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。

相似对角化的充要条件是n阶方阵A有n个线性无关的特征向量。实对称矩阵满足要求，说明实对称矩阵一定可以相似对角化。

==注意==：

对于对角阵$\Lambda = \begin{bmatrix}4&0\0&4\end{bmatrix}$而言，比较与其拥有相同特征值的若尔当型矩阵$\begin{bmatrix}4&1\0&4\end{bmatrix}$，这类矩阵像对角阵且特征值也相同，却无法被对角化，说明单纯从特征值角度入手是无法判断矩阵相似的。而根据特征值之和等于迹、特征值之积的规律等于行列式值可以写出其他特征值相同但无法被对角化的矩阵，如$\begin{bmatrix}5&1\-1&3\end{bmatrix}$。

2.相似和对角化

2.1 相似

相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得$P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

其具有以下性质： image.png

2.2 对角化

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使$M=PDP-1$。

有： image.png

2.3 总结

  1. 对于任意矩阵A，如果B与之相似，则要求存在可逆矩阵P使得 $P^{-1}AP=B$；
  2. 对角化要求上面的矩阵B为对角阵$\Lambda$，即$P^{-1}AP=\Lambda$。

3.矩阵可对角化的意义

对角矩阵的特征值]和特征向量是已知的，通过简单提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。比如求解一个3阶实对称矩阵$A^k$，当k较大时按矩阵乘法定义计算根本不切实际。但将A对角化之后（即表示为$P^{-1}\Lambda P$），求解$A^k$只要将各特征值变为k次方即可。