1.矩阵幂的稳态

对于矩阵幂乘以向量$A^ku_0$可以拆解为特征值和特征向量乘积和的表示： $$u_k = A^k u_0 =Q\Lambda^k Q^T= c_1\lambda_1^kx_1+c_2\lambda_2^kx_2+...$$

引出矩阵幂的稳态：即当$k \to\infin$，那些$|\lambda|<1$的项会趋于0，特征值$|\lambda|=1$的项保持稳定（注：如果出现$|\lambda|<1$，说明不是稳态而是发散的），对于那些幂稳态的矩阵有：

  1. 有一个特征值满足：$\lambda=1$
  2. 其余特征值满足：$|\lambda_i|<1$

2.马尔科夫矩阵

一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。比如研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。

观察一个马尔科夫矩阵$\begin{bmatrix}0.7&0.2&0.5\0.1&0.5&0.4\0.2&0.3&0.1\end{bmatrix}$ ，可以得到：

  1. 矩阵中的每个元素都大于0（每一个元素表的是概率，概率具有非负性）；
  2. 每列元素相加等于 1。

所以很容易可以推广出：若 A 是马尔科夫矩阵，则有：

  1. 乘以一个非负向量 $u_0$ 得到一个非负向量 $u_1=Au_0$；
  2. 若向量 $u_0$ 元素相加为 1则 $u_1=Au_0$ 的元素相加也为 1。
  3. 马尔可夫矩阵的幂（矩阵与自身相乘），仍为马尔可夫矩阵。
  4. 由于 A 的每一列相加等于1，所以 $A−I$ 的每一列相加等于 0，说明 $A−I$ 的行线性相关，即$|A-I|=0$，所以 1 是 A 的一个特征值。

而对于马尔可夫矩阵的幂，在k较大时（可视为趋向无穷），上式中只会留下特征值$|\lambda|=1$的项，其余项都会消失，证明了马尔科夫矩阵的稳态。

3.马尔科夫矩阵的应用

Professor Strang所举的例子的人口迁移。

本节来源于：【线性代数学习笔记7-4：马尔可夫矩阵、矩阵幂的稳态问题】

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