题目描述
这是 LeetCode 上的 1877. 数组中最大数对和的最小值 ，难度为 中等。
Tag : 「贪心」
一个数对 (a,b) 的 数对和 等于 a + b 。最大数对和 是一个数对数组中最大的 数对和 。
比方说，如果我们有数对 (1,5) ，(2,3) 和 (4,4)，最大数对和 为 max(1+5, 2+3, 4+4) = max(6, 5, 8) = 8 。 给你一个长度为 偶数 n 的数组 nums ，请你将 nums 中的元素分成 n / 2 个数对，使得：
- nums 中每个元素 恰好 在 一个 数对中，且
- 最大数对和 的值 最小 。
请你在最优数对划分的方案下，返回最小的 最大数对和 。
示例 1：
输入：nums = [3,5,2,3]
输出：7
解释：数组中的元素可以分为数对 (3,3) 和 (5,2) 。
最大数对和为 max(3+3, 5+2) = max(6, 7) = 7 。
示例 2：
输入：nums = [3,5,4,2,4,6]
输出：8
解释：数组中的元素可以分为数对 (3,5)，(4,4) 和 (6,2) 。
最大数对和为 max(3+5, 4+4, 6+2) = max(8, 8, 8) = 8 。
提示：
- n == nums.length
- 2 <= n <=
- n 是 偶数 。
- 1 <= nums[i] <=
基本分析 & 证明
直觉上，我们会认为「尽量让“较小数”和“较大数”组成数对，可以有效避免出现“较大数成对”的现象」。
我们来证明一下该猜想是否成立。
假定 本身有序，由于我们要将 拆分成 个数对，根据猜想，我们得到的数对序列为：
换句话说，构成答案的数对必然是较小数取自有序序列的左边，较大数取自有序序列的右边，且与数组中心对称。
假设最大数对是 ，其中 ，记两者之和为 。
反证法证明，不存在别的数对组合会比 更优：
假设存在数对 与 进行调整使答案更优。
接下来分情况讨论：
- 调整为 和 ：此时最大数对答案为 ，显然 。我们要最小化最大数对和，因此该调整方案不会让答案更好；
- 调整为 和 ：此时最大数对答案为 。我们要最小化最大数对和，因此该调整方案不会让答案更好；
上述分析可以归纳推理到每一个“非对称”的数对配对中。
至此我们得证，将原本对称的数对调整为不对称的数对，不会使得答案更优，即贪心解可取得最优解。
贪心
对原数组 进行排序，然后从一头一尾开始往中间组「数对」，取所有数对中的最大值即是答案。
Java 代码：
class Solution {
public int minPairSum(int[] nums) {
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
int ans = nums[0] + nums[n - 1];
for (int i = 0, j = n - 1; i < j; i++, j--) {
ans = Math.max(ans, nums[i] + nums[j]);
}
return ans;
}
}Python 3 代码：
class Solution:
def minPairSum(self, nums: List[int]) -> int:
nums.sort()
n = len(nums)
ans = nums[0] + nums[n - 1]
for i in range(1, n//2):
ans = max(ans, nums[i] + nums[n - 1 - i])
return ans
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1877 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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