BestCoder Round #75 King's Game

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5643

这道题是一个类似于约瑟夫环的问题，但是跳动数每次都+1，小编先给出这道题的官方题解：

King's Game

约瑟夫问题的一个变种，然而题目全部是在唬人，就是一个简单的递推。虽然我知道有人会打表。。。

$n$ 个人，每隔 $k$

$n$个人围成环，标号为$[0,n-1]$从$0$开始的好处是取模方便），每数$k$个人杀一个的情况下，最后一个存活的人的编号是$f[n]$。

$f[1]=0$,这不需要解释。

$f[n]$,第一个杀死的人的编号是$k-1$,杀死后只剩下$n-1$个人了，那么我们重新编号！

$0$号，也就是编号之间相差$3$我们只要知道现在$n-1$个人的情况最后是谁幸存也就知道$n$个人的情况是谁幸存。幸运的是$f[n-1]$已经算出来了那$f[n]$就是在$f[n-1]$的基础上加上一个$k$即可不要忘记总是要取模。

$f[i] = \begin{cases} & \text{ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } i=1 \ & \text{ (f[i - 1] + k) mod i \ \ \ \ \ \ } other \end{cases}$

$1, 2, 3...n - 1$ 个人删除，所以用 $f[i][j]$ 表示 $i$ 个人，依次隔 $j, j + 1... j + i - 1$

$j - 1$ 号出局，从 $j$ 开始新的一轮，从 $j + 1$ 开始清除，剩余 $i - 1$

$f[i][j] = \begin{cases} & \text{ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } i=1 \ & \text{ (f[i - 1][j+1] + j) mod i \ \ \ \ \ \ } other \end{cases}$

$f[n][1] + 1$（将标号转移到 $[1, n]$），问题轻松解决。

$O(n^2)$，查询 $O(1)$，总复杂度 $O(n^2)$。由于可以滚动数组以及常数太小，所以 $n$ 给了 $5000$（其实是出题人不会别的算法嘿嘿嘿）。

比赛的时候由于太多时间浪费在了手机那倒水题上(小编TT)，这道题并没有怎么看，当时看着觉得是模拟可能会超时，但是又想不出什么方法就没怎么看，下来看到题解的时候也是惊呆了，果然DP是个玄学啊，这东西还能这样递推……(好吧，是小编太辣鸡了)，由于题解写的很清楚了，小编这里就只做一点小小的讲解就好，因为n个人最后留下来的那个人是确定的不会改变的，所以我们并不需要每次都去算一次，预处理打表就可以解决。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 5000+5;
int ans[maxn];
int main()
{
  ans[1] = 1;
  for(int i=2; i<=5000; i++)
  {
    int tmp = 0;
    for(int j=2; j<=i; j++)
    {
      tmp = (tmp+i-j+1) % j;
    }
    ans[i] = tmp+1;
  }
  int t;
  scanf("%d",&t);
  while(t--)
  {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d\n",ans[n]);
  }
  return 0;
}